Экзамены с этой задачей: Исследование произведений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найти наибольшее и наименьшее значение функции\(y=x^{2}(x-2)\) на отрезке \([1;2]\)

Ответ

\underset{[1;2]}{max} y(x)=0; \underset{[1;2]}{min} y(x)=-\frac{32}{27}

Решение № 13260:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = x^2(x - 2) \) на отрезке \([1; 2]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}[x^2(x - 2)] = \frac{d}{dx}[x^3 - 2x^2] = 3x^2 - 4x \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ 3x^2 - 4x = 0 \] <li> Вынести общий множитель: </li> \[ x(3x - 4) = 0 \] <li> Решить уравнение относительно \( x \): </li> \[ x = 0 \quad \text{или} \quad 3x - 4 = 0 \implies x = \frac{4}{3} \] <li> Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([1; 2]\): </li> \[ x = 0 \quad \text{не попадает в отрезок} \quad [1; 2] \] \[ x = \frac{4}{3} \quad \text{попадает в отрезок} \quad [1; 2] \] <li> Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: </li> \[ y(1) = 1^2(1 - 2) = 1^2(-1) = -1 \] \[ y\left(\frac{4}{3}\right) = \left(\frac{4}{3}\right)^2\left(\frac{4}{3} - 2\right) = \left(\frac{16}{9}\right)\left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{32}{27} \] \[ y(2) = 2^2(2 - 2) = 4 \cdot 0 = 0 \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: </li> \[ y(1) = -1 \] \[ y\left(\frac{4}{3}\right) = -\frac{32}{27} \] \[ y(2) = 0 \] Сравнивая значения, получаем: \[ -1 > -\frac{32}{27} \quad \text{и} \quad 0 > -1 \] Наибольшее значение: \( y(2) = 0 \) Наименьшее значение: \( y\left(\frac{4}{3}\right) = -\frac{32}{27} \) </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 0 \) <br> Наименьшее значение: \( -\frac{32}{27} \)