Решение №3411: Для нахождения наименьшего значения функции \( y = \cos(3x) - 15 \cos(x) + 8 \) на отрезке \(\left[ \frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2} \right]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} (\cos(3x) - 15 \cos(x) + 8) \] \[ y' = -3 \sin(3x) \cdot 3 + 15 \sin(x) \] \[ y' = -9 \sin(3x) + 15 \sin(x) \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -9 \sin(3x) + 15 \sin(x) = 0 \]
3. Приравнять уравнение к нулю и решить его:
\[ -9 \sin(3x) + 15 \sin(x) = 0 \] \[ 9 \sin(3x) = 15 \sin(x) \] \[ \sin(3x) = \frac{15}{9} \sin(x) \] \[ \sin(3x) = \frac{5}{3} \sin(x) \]
4. Использовать формулу для синуса тройного угла:
\[ \sin(3x) = 3 \sin(x) - 4 \sin^3(x) \] \[ 3 \sin(x) - 4 \sin^3(x) = \frac{5}{3} \sin(x) \]
5. Решить уравнение относительно \( \sin(x) \):
\[ 3 \sin(x) - 4 \sin^3(x) = \frac{5}{3} \sin(x) \] \[ 3 \sin(x) - \frac{5}{3} \sin(x) = 4 \sin^3(x) \] \[ \left(3 - \frac{5}{3}\right) \sin(x) = 4 \sin^3(x) \] \[ \frac{4}{3} \sin(x) = 4 \sin^3(x) \] \[ \sin(x) = 3 \sin^3(x) \] \[ \sin(x) (1 - 3 \sin^2(x)) = 0 \]
6. Решить уравнение:
\[ \sin(x) = 0 \quad \text{или} \quad 1 - 3 \sin^2(x) = 0 \] \[ \sin(x) = 0 \quad \text{или} \quad \sin^2(x) = \frac{1}{3} \] \[ \sin(x) = 0 \quad \text{или} \quad \sin(x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \]
7. Найти соответствующие значения \( x \) в пределах отрезка \(\left[ \frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2} \right]\):
\[ \sin(x) = 0 \implies x = \pi \] \[ \sin(x) = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies x = \frac{\pi}{3} \] \[ \sin(x) = -\frac{1}{\sqrt{3}} \implies x = \frac{5\pi}{6} \]
8. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(3 \cdot \frac{\pi}{3}\right) - 15 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + 8 = \cos(\pi) - 15 \cdot \frac{1}{2} + 8 = -1 - 7.5 + 8 = -0.5 \] \[ y\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \cos\left(3 \cdot \frac{5\pi}{6}\right) - 15 \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) + 8 = \cos\left(\frac{5\pi}{2}\right) - 15 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 8 = 0 + \frac{15\sqrt{3}}{2} + 8 \] \[ y(\pi) = \cos(3\pi) - 15 \cos(\pi) + 8 = -1 - 15 \cdot (-1) + 8 = -1 + 15 + 8 = 22 \] \[ y\left(\frac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(3 \cdot \frac{3\pi}{2}\right) - 15 \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) + 8 = \cos\left(\frac{9\pi}{2}\right) - 15 \cdot 0 + 8 = 0 + 8 = 8 \]
9. Сравнить полученные значения и определить наименьшее значение функции на отрезке:
Наименьшее значение: \( y\left(\frac{\pi}{3}\right) = -0.5 \)

Ответ: -0.5

Решение №3412: Для нахождения наименьшего значения функции \( y = \frac{2}{1 + \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)} \) на отрезке \(\left[0; \frac{\pi}{2}\right]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Исследовать поведение функции \( y \) на заданном отрезке.
2. Рассмотрим функцию \( \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \).
3. Определим диапазон значений \( x + \frac{\pi}{4} \) на отрезке \(\left[0; \frac{\pi}{2}\right]\): \[ x + \frac{\pi}{4} \in \left[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right] \]
4. Найдем диапазон значений \( \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \) на этом интервале: \[ \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \in \left[\sin\left(\frac{\pi}{4}\right); \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right] \] \[ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
5. Таким образом, \( \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \) принимает значения в диапазоне: \[ \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \in \left[\frac{\sqrt{2}}{2}; 1\right] \]
6. Теперь найдем диапазон значений \( 1 + \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \): \[ 1 + \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \in \left[1 + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}; 1 + \sqrt{2} \cdot 1\right] \] \[ 1 + \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \in \left[1 + 1; 1 + \sqrt{2}\right] \] \[ 1 + \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \in \left[2; 1 + \sqrt{2}\right] \]
7. Теперь найдем диапазон значений функции \( y \): \[ y = \frac{2}{1 + \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)} \in \left[\frac{2}{1 + \sqrt{2}}; \frac{2}{2}\right] \] \[ y \in \left[\frac{2}{1 + \sqrt{2}}; 1\right] \]
8. Наименьшее значение функции \( y \) на отрезке \(\left[0; \frac{\pi}{2}\right]\): \[ y_{\min} = \frac{2}{1 + \sqrt{2}} \]

Ответ: \frac{2}{1+\sqrt{2}}

Решение №7296: Для нахождения наибольшего значения функции \( y = \sin x + \cos 2x \) на отрезке \([0; \pi]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(\sin x + \cos 2x) = \cos x - 2 \sin 2x \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \cos x - 2 \sin 2x = 0 \]
3. Используем тождество \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \):
\[ \cos x - 2 \cdot 2 \sin x \cos x = 0 \] \[ \cos x - 4 \sin x \cos x = 0 \] \[ \cos x (1 - 4 \sin x) = 0 \]
4. Решить уравнение \( \cos x (1 - 4 \sin x) = 0 \):
\[ \cos x = 0 \quad \text{или} \quad 1 - 4 \sin x = 0 \]
5. Решим каждое из уравнений:
\[ \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} \] \[ 1 - 4 \sin x = 0 \implies \sin x = \frac{1}{4} \implies x = \arcsin \frac{1}{4} \]
6. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([0; \pi]\):
\[ x = \frac{\pi}{2} \quad \text{и} \quad x = \arcsin \frac{1}{4} \]
7. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(0) = \sin 0 + \cos 2 \cdot 0 = 0 + 1 = 1 \] \[ y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin \frac{\pi}{2} + \cos 2 \cdot \frac{\pi}{2} = 1 + \cos \pi = 1 - 1 = 0 \] \[ y(\pi) = \sin \pi + \cos 2 \pi = 0 + 1 = 1 \] \[ y\left(\arcsin \frac{1}{4}\right) = \sin \left(\arcsin \frac{1}{4}\right) + \cos 2 \left(\arcsin \frac{1}{4}\right) \] \[ = \frac{1}{4} + \cos \left(2 \arcsin \frac{1}{4}\right) \]
8. Используем тождество \( \cos 2\theta = 1 - 2 \sin^2 \theta \):
\[ \cos \left(2 \arcsin \frac{1}{4}\right) = 1 - 2 \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - 2 \cdot \frac{1}{16} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \] \[ y\left(\arcsin \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4} + \frac{7}{8} = \frac{1}{4} + \frac{7}{8} = \frac{2}{8} + \frac{7}{8} = \frac{9}{8} \]
9. Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке:
\[ y(0) = 1, \quad y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0, \quad y(\pi) = 1, \quad y\left(\arcsin \frac{1}{4}\right) = \frac{9}{8} \] Наибольшее значение: \( y\left(\arcsin \frac{1}{4}\right) = \frac{9}{8} \)

Ответ: 1.125

Решение №13582: Для нахождения наименьшего значения функции \( y = \sin x + \cos 2x \) на отрезке \([0; \pi]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(\sin x + \cos 2x) = \cos x - 2 \sin 2x \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \cos x - 2 \sin 2x = 0 \]
3. Использовать тригонометрическое тождество для \( \sin 2x \):
\[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \]
4. Подставить тождество в уравнение:
\[ \cos x - 2(2 \sin x \cos x) = 0 \] \[ \cos x - 4 \sin x \cos x = 0 \]
5. Вынести \( \cos x \) за скобки:
\[ \cos x (1 - 4 \sin x) = 0 \]
6. Рассмотреть два случая:
\[ \cos x = 0 \quad \text{или} \quad 1 - 4 \sin x = 0 \]
7. Решить уравнение \( \cos x = 0 \):
\[ x = \frac{\pi}{2} \]
8. Решить уравнение \( 1 - 4 \sin x = 0 \):
\[ 4 \sin x = 1 \] \[ \sin x = \frac{1}{4} \] \[ x = \arcsin \frac{1}{4} \]
9. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([0; \pi]\):
\[ x = \frac{\pi}{2} \quad \text{и} \quad x = \arcsin \frac{1}{4} \]
10. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(0) = \sin 0 + \cos 0 = 0 + 1 = 1 \] \[ y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin \frac{\pi}{2} + \cos \pi = 1 + (-1) = 0 \] \[ y(\pi) = \sin \pi + \cos 2\pi = 0 + 1 = 1 \] \[ y\left(\arcsin \frac{1}{4}\right) = \sin \left(\arcsin \frac{1}{4}\right) + \cos \left(2 \arcsin \frac{1}{4}\right) \] \[ = \frac{1}{4} + \cos \left(2 \arcsin \frac{1}{4}\right) \]
11. Использовать тождество для \( \cos 2\theta \):
\[ \cos 2\theta = 1 - 2 \sin^2 \theta \] \[ \cos \left(2 \arcsin \frac{1}{4}\right) = 1 - 2 \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - 2 \cdot \frac{1}{16} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \]
12. Подставить значение \( \cos \left(2 \arcsin \frac{1}{4}\right) \) в уравнение:
\[ y\left(\arcsin \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4} + \frac{7}{8} = \frac{1}{4} + \frac{7}{8} = \frac{2}{8} + \frac{7}{8} = \frac{9}{8} \]
13. Сравнить полученные значения и определить наименьшее значение функции на отрезке:
\[ y(0) = 1, \quad y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0, \quad y(\pi) = 1, \quad y\left(\arcsin \frac{1}{4}\right) = \frac{9}{8} \]
14. Наименьшее значение: \( y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \)

Ответ: 0

Решение №13596: Для нахождения наибольшего значения функции \( y = \cos(3x) - 15\cos(x) + 8 \) на отрезке \(\left[ \frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2} \right]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(\cos(3x) - 15\cos(x) + 8) = -3\sin(3x) + 15\sin(x) \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -3\sin(3x) + 15\sin(x) = 0 \]
3. Решим уравнение: \[ 3\sin(3x) = 15\sin(x) \] \[ \sin(3x) = 5\sin(x) \]
4. Используем формулу для \(\sin(3x)\): \[ \sin(3x) = 3\sin(x) - 4\sin^3(x) \] Подставляем: \[ 3\sin(x) - 4\sin^3(x) = 5\sin(x) \]
5. Упрощаем уравнение: \[ 3\sin(x) - 4\sin^3(x) - 5\sin(x) = 0 \] \[ -4\sin^3(x) - 2\sin(x) = 0 \] \[ -2\sin(x)(2\sin^2(x) + 1) = 0 \]
6. Решаем уравнение: \[ \sin(x) = 0 \quad \text{или} \quad 2\sin^2(x) + 1 = 0 \] \[ \sin(x) = 0 \implies x = \pi \quad \text{(на отрезке \(\left[ \frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2} \right]\))} \] \[ 2\sin^2(x) + 1 = 0 \quad \text{(не имеет решений, так как \(2\sin^2(x) + 1\) всегда положительно)} \]
7. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \(\left[ \frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2} \right]\): Точка \( x = \pi \) попадает в отрезок.
8. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: \[ y\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(3 \cdot \frac{\pi}{3}\right) - 15\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + 8 = \cos(\pi) - 15\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + 8 = -1 - 15 \cdot \frac{1}{2} + 8 = -1 - 7.5 + 8 = -0.5 \] \[ y\left(\frac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(3 \cdot \frac{3\pi}{2}\right) - 15\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) + 8 = \cos\left(\frac{9\pi}{2}\right) - 15\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) + 8 = 0 - 15 \cdot 0 + 8 = 8 \] \[ y(\pi) = \cos(3\pi) - 15\cos(\pi) + 8 = \cos(\pi) - 15\cos(\pi) + 8 = -1 - 15 \cdot (-1) + 8 = -1 + 15 + 8 = 22 \]
9. Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке: \[ y\left(\frac{\pi}{3}\right) = -0.5 \] \[ y\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 8 \] \[ y(\pi) = 22 \]
10. Наибольшее значение: \( y(\pi) = 22 \)

Ответ: 22

Решение №13597: Для нахождения наибольшего значения функции \( y = \frac{2}{1 + \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)} \) на отрезке \([0; \frac{\pi}{2}]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{2}{1 + \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)} \right) \] Используем правило производной для функции вида \( \frac{u}{v} \): \[ y' = \frac{2 \cdot (-\sqrt{2} \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right))}{(1 + \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right))^2} \] Упростим выражение: \[ y' = \frac{-2 \sqrt{2} \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right)}{(1 + \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right))^2} \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{-2 \sqrt{2} \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right)}{(1 + \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right))^2} = 0 \] Это уравнение будет равно нулю, когда числитель равен нулю: \[ -2 \sqrt{2} \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = 0 \] \[ \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] На отрезке \([0; \frac{\pi}{2}]\) находим: \[ x = \frac{\pi}{4} \]
4. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(0) = \frac{2}{1 + \sqrt{2} \sin \left( 0 + \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{2}{1 + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{1 + 1} = 1 \] \[ y\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{2}{1 + \sqrt{2} \sin \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{2}{1 + \sqrt{2} \cdot 1} = \frac{2}{1 + \sqrt{2}} \] \[ y\left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{2}{1 + \sqrt{2} \sin \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{2}{1 + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{1 + 1} = 1 \]
5. Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке:
Наибольшее значение: \( y(0) = 1 \) и \( y\left( \frac{\pi}{2} \right) = 1 \)

Ответ: 1

Решение №49333: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( f(x) = \sin x - \cos x \) на отрезке \([0; \pi]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin x - \cos x) = \cos x + \sin x \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( f'(x) = 0 \):
\[ \cos x + \sin x = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ \cos x = -\sin x \] \[ \tan x = -1 \] \[ x = \frac{3\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
4. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([0; \pi]\):
\[ x = \frac{3\pi}{4} \]
5. Вычислить значения функции \( f(x) \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ f(0) = \sin 0 - \cos 0 = 0 - 1 = -1 \] \[ f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sin \left(\frac{3\pi}{4}\right) - \cos \left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2} \] \[ f(\pi) = \sin \pi - \cos \pi = 0 - (-1) = 1 \]
6. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
\[ \text{Наибольшее значение: } f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \] \[ \text{Наименьшее значение: } f(0) = -1 \]

Ответ: \(\sqrt{2}; -1\).

Решение №49334: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( f(x) = x \sqrt{3} - \cos(2x) \) на отрезке \([- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \sqrt{3} + 2 \sin(2x) \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( f'(x) = 0 \):
\[ \sqrt{3} + 2 \sin(2x) = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 2 \sin(2x) = -\sqrt{3} \] \[ \sin(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]
4. Найти значения \( x \), при которых \( \sin(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \):
\[ 2x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 2x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = -\frac{\pi}{6} + k\pi \quad \text{или} \quad x = -\frac{\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
5. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\):
\[ x = -\frac{\pi}{6} \quad \text{и} \quad x = -\frac{\pi}{3} \]
6. Вычислить значения функции \( f(x) \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\pi}{2} \sqrt{3} - \cos\left(2 \cdot -\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\pi}{2} \sqrt{3} - \cos(-\pi) = -\frac{\pi}{2} \sqrt{3} + 1 \] \[ f\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\pi}{3} \sqrt{3} - \cos\left(2 \cdot -\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\pi}{3} \sqrt{3} - \cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{\pi}{3} \sqrt{3} - \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{3} \sqrt{3} + \frac{1}{2} \] \[ f\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\pi}{6} \sqrt{3} - \cos\left(2 \cdot -\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\pi}{6} \sqrt{3} - \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\pi}{6} \sqrt{3} - \frac{1}{2} \] \[ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} \sqrt{3} - \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} \sqrt{3} - \cos(\pi) = \frac{\pi}{2} \sqrt{3} + 1 \]
7. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
\[ f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\pi}{2} \sqrt{3} + 1 \] \[ f\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\pi}{3} \sqrt{3} + \frac{1}{2} \] \[ f\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\pi}{6} \sqrt{3} - \frac{1}{2} \] \[ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} \sqrt{3} + 1 \]
8. Наибольшее значение: \( f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} \sqrt{3} + 1 \)
9. Наименьшее значение: \( f\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\pi}{6} \sqrt{3} - \frac{1}{2} \)

Ответ: \(\frac{2+\pi\sqrt{3}}{2}; \frac{2-\pi\sqrt{3}}{2}\).

Решение №49335: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( f(x) = \sqrt{3} \sin x + \cos x \) на отрезке \([0; \pi]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} (\sqrt{3} \sin x + \cos x) = \sqrt{3} \cos x - \sin x \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( f'(x) = 0 \):
\[ \sqrt{3} \cos x - \sin x = 0 \]
3. Переписать уравнение в виде:
\[ \sqrt{3} \cos x = \sin x \]
4. Разделить обе части уравнения на \( \cos x \) (при \( \cos x \neq 0 \)):
\[ \sqrt{3} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x \]
5. Решить уравнение \( \tan x = \sqrt{3} \):
\[ x = \frac{\pi}{3} \]
6. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([0; \pi]\):
Критическая точка \( x = \frac{\pi}{3} \) попадает в отрезок \([0; \pi]\).
7. Вычислить значения функции \( f(x) \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ f(0) = \sqrt{3} \sin 0 + \cos 0 = 0 + 1 = 1 \] \[ f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2 \] \[ f(\pi) = \sqrt{3} \sin \pi + \cos \pi = 0 - 1 = -1 \]
8. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
Наибольшее значение: \( f\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \)
Наименьшее значение: \( f(\pi) = -1 \)

Ответ: 2; -1

Решение №49336: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( f(x) = 2 \cos(4x + \frac{\pi}{6}) \) на отрезке \([- \frac{\pi}{12}; \frac{\pi}{3}]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( 2 \cos(4x + \frac{\pi}{6}) \right) = -8 \sin(4x + \frac{\pi}{6}) \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( f'(x) = 0 \):
\[ -8 \sin(4x + \frac{\pi}{6}) = 0 \implies \sin(4x + \frac{\pi}{6}) = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 4x + \frac{\pi}{6} = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{k\pi}{4} - \frac{\pi}{24} \]
4. Найти значения \( x \), которые попадают в отрезок \([- \frac{\pi}{12}; \frac{\pi}{3}]\):
\[ x = \frac{k\pi}{4} - \frac{\pi}{24} \] \[ -\frac{\pi}{12} \leq \frac{k\pi}{4} - \frac{\pi}{24} \leq \frac{\pi}{3} \] \[ -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{24} \leq \frac{k\pi}{4} \leq \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{24} \] \[ -\frac{\pi}{24} \leq \frac{k\pi}{4} \leq \frac{3\pi}{8} \] \[ -\frac{1}{6} \leq k \leq \frac{3}{2} \] \[ k = 0 \implies x = -\frac{\pi}{24} \] \[ k = 1 \implies x = \frac{\pi}{6} \]
5. Вычислить значения функции \( f(x) \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ f\left(-\frac{\pi}{12}\right) = 2 \cos\left(4 \left(-\frac{\pi}{12}\right) + \frac{\pi}{6}\right) = 2 \cos\left(-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = 2 \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \] \[ f\left(-\frac{\pi}{24}\right) = 2 \cos\left(4 \left(-\frac{\pi}{24}\right) + \frac{\pi}{6}\right) = 2 \cos\left(-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}\right) = 2 \cos(0) = 2 \] \[ f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cos\left(4 \left(\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{6}\right) = 2 \cos\left(\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = 2 \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\sqrt{3} \] \[ f\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cos\left(4 \left(\frac{\pi}{3}\right) + \frac{\pi}{6}\right) = 2 \cos\left(\frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = 2 \cos\left(\frac{9\pi}{6}\right) = 2 \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0 \]
6. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
\[ \text{Наибольшее значение: } f\left(-\frac{\pi}{24}\right) = 2 \] \[ \text{Наименьшее значение: } f\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\sqrt{3} \]

Ответ: 2; -2

Решение №49339: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( f(x) = 2 \sin 2x + \cos 4x \) на отрезке \([0; \frac{\pi}{3}]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2 \sin 2x + \cos 4x) = 4 \cos 2x - 4 \sin 4x \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( f'(x) = 0 \):
\[ 4 \cos 2x - 4 \sin 4x = 0 \]
3. Упростить уравнение:
\[ \cos 2x - \sin 4x = 0 \]
4. Использовать тождество для синуса и косинуса:
\[ \sin 4x = \sin (2 \cdot 2x) = 2 \sin 2x \cos 2x \]
5. Подставить тождество в уравнение:
\[ \cos 2x - 2 \sin 2x \cos 2x = 0 \]
6. Факторизовать уравнение:
\[ \cos 2x (1 - 2 \sin 2x) = 0 \]
7. Решить получившееся уравнение:
\[ \cos 2x = 0 \quad \text{или} \quad 1 - 2 \sin 2x = 0 \]
8. Решить первое уравнение:
\[ \cos 2x = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} \]
9. Решить второе уравнение:
\[ 1 - 2 \sin 2x = 0 \implies \sin 2x = \frac{1}{2} \implies 2x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{или} \quad 2x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \]
10. Решить для \( x \):
\[ x = \frac{\pi}{12} + \pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{12} + \pi k \]
11. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([0; \frac{\pi}{3}]\):
\[ x = \frac{\pi}{4} \quad \text{(попадает)} \] \[ x = \frac{\pi}{12} \quad \text{(попадает)} \] \[ x = \frac{5\pi}{12} \quad \text{(не попадает)} \]
12. Вычислить значения функции \( f(x) \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ f(0) = 2 \sin 0 + \cos 0 = 0 + 1 = 1 \] \[ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos \pi = 2 \cdot 1 + (-1) = 1 \] \[ f\left(\frac{\pi}{12}\right) = 2 \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) + \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = 1.5 \] \[ f\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \sin \left(\frac{2\pi}{3}\right) + \cos \left(\frac{4\pi}{3}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \left(-\frac{1}{2}\right) = \sqrt{3} - \frac{1}{2} \]
13. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
\[ \text{Наибольшее значение: } f\left(\frac{\pi}{12}\right) = 1.5 \] \[ \text{Наименьшее значение: } f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} - \frac{1}{2} \]

Ответ: \(\frac{3}{2}; 1\).

Решение №49340: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( f(x) = \sqrt{3} \sin 2x + \cos 2x - 5 \) на отрезке \( [0; \frac{\pi}{3}] \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} (\sqrt{3} \sin 2x + \cos 2x - 5) = 2\sqrt{3} \cos 2x - 2 \sin 2x \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( f'(x) = 0 \):
\[ 2\sqrt{3} \cos 2x - 2 \sin 2x = 0 \]
3. Решим это уравнение:
\[ \sqrt{3} \cos 2x = \sin 2x \] \[ \tan 2x = \sqrt{3} \] \[ 2x = \frac{\pi}{3} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{\pi}{6} + \frac{n\pi}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} \]
4. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \( [0; \frac{\pi}{3}] \):
\[ x = \frac{\pi}{6} \]
5. Вычислить значения функции \( f(x) \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ f(0) = \sqrt{3} \sin 0 + \cos 0 - 5 = 0 + 1 - 5 = -4 \] \[ f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) - 5 = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} - 5 = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} - 5 = 2 - 5 = -3 \] \[ f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \sin \left(\frac{2\pi}{3}\right) + \cos \left(\frac{2\pi}{3}\right) - 5 = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \left(-\frac{1}{2}\right) - 5 = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} - 5 = 1 - 5 = -4 \]
6. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
\[ f(0) = -4, \quad f\left(\frac{\pi}{6}\right) = -3, \quad f\left(\frac{\pi}{3}\right) = -4 \] Наибольшее значение: \( f\left(\frac{\pi}{6}\right) = -3 \) Наименьшее значение: \( f(0) = -4 \)

Ответ: \(-3; -4\).

Решение №49341: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( f(x) = 2 \cos x - \sin 2x \) на отрезке \(\left[\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2 \cos x - \sin 2x) \] Используя правила дифференцирования: \[ f'(x) = -2 \sin x - 2 \cos 2x \] Учитывая, что \(\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x\), получаем: \[ f'(x) = -2 \sin x - 2 (1 - 2 \sin^2 x) = -2 \sin x - 2 + 4 \sin^2 x \] \[ f'(x) = 4 \sin^2 x - 2 \sin x - 2 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( f'(x) = 0 \):
\[ 4 \sin^2 x - 2 \sin x - 2 = 0 \] Это квадратное уравнение относительно \(\sin x\). Решим его: \[ \sin^2 x - \frac{1}{2} \sin x - \frac{1}{2} = 0 \] Используем формулу для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ \sin x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = -\frac{1}{2} \), \( c = -\frac{1}{2} \): \[ \sin x = \frac{\frac{1}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)}}{2 \cdot 1} \] \[ \sin x = \frac{\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 2}}{2} \] \[ \sin x = \frac{\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}}}{2} \] \[ \sin x = \frac{\frac{1}{2} \pm \frac{3}{2}}{2} \] Получаем два корня: \[ \sin x_1 = \frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] \[ \sin x_2 = \frac{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}}{2} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2} \]
3. Найти значения \( x \) в отрезке \(\left[\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]\), соответствующие найденным значениям \(\sin x\):
\[ \sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} \] \[ \sin x = -\frac{1}{2} \implies x = \frac{7\pi}{6} \quad \text{(в данном отрезке нет таких значений)} \]
4. Вычислить значения функции \( f(x) \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin \left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = 2 \cdot 0 - \sin \pi = 0 \]
5. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
В данном случае, так как отрезок \(\left[\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]\) представляет собой одну точку, наибольшее и наименьшее значение функции совпадают и равны 0.

Ответ: \(\frac{3\sqrt{3}}{2}; 0\).

Решение №49342: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( f(x) = 2\sqrt{3} \cos x + 2 \sin x \) на отрезке \([\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2\sqrt{3} \cos x + 2 \sin x) = -2\sqrt{3} \sin x + 2 \cos x \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( f'(x) = 0 \):
\[ -2\sqrt{3} \sin x + 2 \cos x = 0 \]
3. Решим это уравнение:
\[ 2 \cos x = 2\sqrt{3} \sin x \] \[ \cos x = \sqrt{3} \sin x \]
4. Разделим обе части на \(\cos x\):
\[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{1}{\sqrt{3}} \] \[ \tan x = \frac{\sqrt{3}}{3} \]
5. Найти \( x \), удовлетворяющие этому уравнению на отрезке \([\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\):
\[ x = \frac{\pi}{6} \]
6. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\): Критическая точка \( x = \frac{\pi}{6} \) попадает в отрезок \([\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\).
7. Вычислить значения функции \( f(x) \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\sqrt{3} \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) + 2 \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\sqrt{3} \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2 \] \[ f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2\sqrt{3} \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) + 2 \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} = 3 + 1 = 4 \] \[ f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 2\sqrt{3} \cos \left(-\frac{\pi}{2}\right) + 2 \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) = 2\sqrt{3} \cdot 0 + 2 \cdot (-1) = -2 \]
8. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
   Наибольшее значение: \( f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 4 \)
   Наименьшее значение: \( f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -2 \)

Ответ: 4; -2