Экзамены с этой задачей: Исследование тригонометрических функций

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \(f\) на указанном отрезке: \(f(x)=2\sqrt{3} cos x +2 sin x\), \([\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\).

Ответ

4; -2

Решение № 49342:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( f(x) = 2\sqrt{3} \cos x + 2 \sin x \) на отрезке \([\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( f(x) \): </li> \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2\sqrt{3} \cos x + 2 \sin x) = -2\sqrt{3} \sin x + 2 \cos x \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( f'(x) = 0 \): </li> \[ -2\sqrt{3} \sin x + 2 \cos x = 0 \] <li> Решим это уравнение: </li> \[ 2 \cos x = 2\sqrt{3} \sin x \] \[ \cos x = \sqrt{3} \sin x \] <li> Разделим обе части на \(\cos x\): </li> \[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{1}{\sqrt{3}} \] \[ \tan x = \frac{\sqrt{3}}{3} \] <li> Найти \( x \), удовлетворяющие этому уравнению на отрезке \([\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\): </li> \[ x = \frac{\pi}{6} \] <li> Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\): Критическая точка \( x = \frac{\pi}{6} \) попадает в отрезок \([\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\). </li> <li> Вычислить значения функции \( f(x) \) в критических точках и на концах отрезка: </li> \[ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\sqrt{3} \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) + 2 \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\sqrt{3} \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2 \] \[ f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2\sqrt{3} \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) + 2 \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} = 3 + 1 = 4 \] \[ f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 2\sqrt{3} \cos \left(-\frac{\pi}{2}\right) + 2 \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) = 2\sqrt{3} \cdot 0 + 2 \cdot (-1) = -2 \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: <br> Наибольшее значение: \( f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 4 \) <br> Наименьшее значение: \( f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -2 \) </li> </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 4 \) <br> Наименьшее значение: \( -2 \)