Экзамены с этой задачей: Исследование тригонометрических функций

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \(f\) на указанном отрезке: \(f (x) = sin х - соs х\), \([0; \pi]\).

Ответ

\(\sqrt{2}; -1\).

Решение № 49333:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( f(x) = \sin x - \cos x \) на отрезке \([0; \pi]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( f(x) \): </li> \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin x - \cos x) = \cos x + \sin x \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( f'(x) = 0 \): </li> \[ \cos x + \sin x = 0 \] <li> Решить уравнение относительно \( x \): </li> \[ \cos x = -\sin x \] \[ \tan x = -1 \] \[ x = \frac{3\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] <li> Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([0; \pi]\): </li> \[ x = \frac{3\pi}{4} \] <li> Вычислить значения функции \( f(x) \) в критических точках и на концах отрезка: </li> \[ f(0) = \sin 0 - \cos 0 = 0 - 1 = -1 \] \[ f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sin \left(\frac{3\pi}{4}\right) - \cos \left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2} \] \[ f(\pi) = \sin \pi - \cos \pi = 0 - (-1) = 1 \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: </li> \[ \text{Наибольшее значение: } f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \] \[ \text{Наименьшее значение: } f(0) = -1 \] </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( \sqrt{2} \) <br> Наименьшее значение: \( -1 \)