Экзамены с этой задачей: Исследование тригонометрических функций

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найти наибольшее функции на отрезке\(y=cos3x-15cosx+8\) на отрезке \(\left [ \frac{\pi }{3};\frac{3\pi }{2}\right ]\)

Ответ

22

Решение № 13596:

Для нахождения наибольшего значения функции \( y = \cos(3x) - 15\cos(x) + 8 \) на отрезке \(\left[ \frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2} \right]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(\cos(3x) - 15\cos(x) + 8) = -3\sin(3x) + 15\sin(x) \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ -3\sin(3x) + 15\sin(x) = 0 \] <li> Решим уравнение: \[ 3\sin(3x) = 15\sin(x) \] \[ \sin(3x) = 5\sin(x) \] </li> <li> Используем формулу для \(\sin(3x)\): \[ \sin(3x) = 3\sin(x) - 4\sin^3(x) \] Подставляем: \[ 3\sin(x) - 4\sin^3(x) = 5\sin(x) \] </li> <li> Упрощаем уравнение: \[ 3\sin(x) - 4\sin^3(x) - 5\sin(x) = 0 \] \[ -4\sin^3(x) - 2\sin(x) = 0 \] \[ -2\sin(x)(2\sin^2(x) + 1) = 0 \] </li> <li> Решаем уравнение: \[ \sin(x) = 0 \quad \text{или} \quad 2\sin^2(x) + 1 = 0 \] \[ \sin(x) = 0 \implies x = \pi \quad \text{(на отрезке \(\left[ \frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2} \right]\))} \] \[ 2\sin^2(x) + 1 = 0 \quad \text{(не имеет решений, так как \(2\sin^2(x) + 1\) всегда положительно)} \] </li> <li> Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \(\left[ \frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2} \right]\): Точка \( x = \pi \) попадает в отрезок. </li> <li> Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: \[ y\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(3 \cdot \frac{\pi}{3}\right) - 15\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + 8 = \cos(\pi) - 15\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + 8 = -1 - 15 \cdot \frac{1}{2} + 8 = -1 - 7.5 + 8 = -0.5 \] \[ y\left(\frac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(3 \cdot \frac{3\pi}{2}\right) - 15\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) + 8 = \cos\left(\frac{9\pi}{2}\right) - 15\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) + 8 = 0 - 15 \cdot 0 + 8 = 8 \] \[ y(\pi) = \cos(3\pi) - 15\cos(\pi) + 8 = \cos(\pi) - 15\cos(\pi) + 8 = -1 - 15 \cdot (-1) + 8 = -1 + 15 + 8 = 22 \] </li> <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке: \[ y\left(\frac{\pi}{3}\right) = -0.5 \] \[ y\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 8 \] \[ y(\pi) = 22 \] </li> <li> Наибольшее значение: \( y(\pi) = 22 \) </li> </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 22 \)