Экзамены с этой задачей: Исследование тригонометрических функций

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \(f\) на указанном отрезке:\(f(x) = х\sqrt{З} - соs 2х\), \([-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\).

Ответ

\(\frac{2+\pi\sqrt{3}}{2}; \frac{2-\pi\sqrt{3}}{2}\).

Решение № 49334:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( f(x) = x \sqrt{3} - \cos(2x) \) на отрезке \([- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( f(x) \): </li> \[ f'(x) = \sqrt{3} + 2 \sin(2x) \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( f'(x) = 0 \): </li> \[ \sqrt{3} + 2 \sin(2x) = 0 \] <li> Решить уравнение относительно \( x \): </li> \[ 2 \sin(2x) = -\sqrt{3} \] \[ \sin(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] <li> Найти значения \( x \), при которых \( \sin(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \): </li> \[ 2x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 2x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = -\frac{\pi}{6} + k\pi \quad \text{или} \quad x = -\frac{\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] <li> Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\): </li> \[ x = -\frac{\pi}{6} \quad \text{и} \quad x = -\frac{\pi}{3} \] <li> Вычислить значения функции \( f(x) \) в критических точках и на концах отрезка: </li> \[ f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\pi}{2} \sqrt{3} - \cos\left(2 \cdot -\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\pi}{2} \sqrt{3} - \cos(-\pi) = -\frac{\pi}{2} \sqrt{3} + 1 \] \[ f\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\pi}{3} \sqrt{3} - \cos\left(2 \cdot -\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\pi}{3} \sqrt{3} - \cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{\pi}{3} \sqrt{3} - \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{3} \sqrt{3} + \frac{1}{2} \] \[ f\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\pi}{6} \sqrt{3} - \cos\left(2 \cdot -\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\pi}{6} \sqrt{3} - \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\pi}{6} \sqrt{3} - \frac{1}{2} \] \[ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} \sqrt{3} - \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} \sqrt{3} - \cos(\pi) = \frac{\pi}{2} \sqrt{3} + 1 \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: </li> \[ f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\pi}{2} \sqrt{3} + 1 \] \[ f\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\pi}{3} \sqrt{3} + \frac{1}{2} \] \[ f\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\pi}{6} \sqrt{3} - \frac{1}{2} \] \[ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} \sqrt{3} + 1 \] <li> Наибольшее значение: \( f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} \sqrt{3} + 1 \) </li> <li> Наименьшее значение: \( f\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\pi}{6} \sqrt{3} - \frac{1}{2} \) </li> </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( \frac{\pi}{2} \sqrt{3} + 1 \) <br> Наименьшее значение: \( -\frac{\pi}{6} \sqrt{3} - \frac{1}{2} \)