Экзамены с этой задачей: Исследование тригонометрических функций

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найти наибольшее функции на отрезке\(y=\frac{2}{1+\sqrt{2}sin\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )}\) на отрезке \(\left [0;\frac{\pi }{2} \right ]\)

Ответ

1

Решение № 13597:

Для нахождения наибольшего значения функции \( y = \frac{2}{1 + \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)} \) на отрезке \([0; \frac{\pi}{2}]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{2}{1 + \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)} \right) \] Используем правило производной для функции вида \( \frac{u}{v} \): \[ y' = \frac{2 \cdot (-\sqrt{2} \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right))}{(1 + \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right))^2} \] Упростим выражение: \[ y' = \frac{-2 \sqrt{2} \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right)}{(1 + \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right))^2} \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ \frac{-2 \sqrt{2} \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right)}{(1 + \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right))^2} = 0 \] Это уравнение будет равно нулю, когда числитель равен нулю: \[ -2 \sqrt{2} \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = 0 \] \[ \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = 0 \] <li> Решить уравнение относительно \( x \): </li> \[ x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] На отрезке \([0; \frac{\pi}{2}]\) находим: \[ x = \frac{\pi}{4} \] <li> Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: </li> \[ y(0) = \frac{2}{1 + \sqrt{2} \sin \left( 0 + \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{2}{1 + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{1 + 1} = 1 \] \[ y\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{2}{1 + \sqrt{2} \sin \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{2}{1 + \sqrt{2} \cdot 1} = \frac{2}{1 + \sqrt{2}} \] \[ y\left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{2}{1 + \sqrt{2} \sin \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{2}{1 + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{1 + 1} = 1 \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке: </li> Наибольшее значение: \( y(0) = 1 \) и \( y\left( \frac{\pi}{2} \right) = 1 \) </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 1 \)