Экзамены с этой задачей: Исследование тригонометрических функций

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \(f\) на указанном отрезке: \(f(x)=2cosx- sin 2x\), \([\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\).

Ответ

\(\frac{3\sqrt{3}}{2}; 0\).

Решение № 49341:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( f(x) = 2 \cos x - \sin 2x \) на отрезке \(\left[\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( f(x) \): </li> \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2 \cos x - \sin 2x) \] Используя правила дифференцирования: \[ f'(x) = -2 \sin x - 2 \cos 2x \] Учитывая, что \(\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x\), получаем: \[ f'(x) = -2 \sin x - 2 (1 - 2 \sin^2 x) = -2 \sin x - 2 + 4 \sin^2 x \] \[ f'(x) = 4 \sin^2 x - 2 \sin x - 2 \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( f'(x) = 0 \): </li> \[ 4 \sin^2 x - 2 \sin x - 2 = 0 \] Это квадратное уравнение относительно \(\sin x\). Решим его: \[ \sin^2 x - \frac{1}{2} \sin x - \frac{1}{2} = 0 \] Используем формулу для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ \sin x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = -\frac{1}{2} \), \( c = -\frac{1}{2} \): \[ \sin x = \frac{\frac{1}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)}}{2 \cdot 1} \] \[ \sin x = \frac{\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 2}}{2} \] \[ \sin x = \frac{\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}}}{2} \] \[ \sin x = \frac{\frac{1}{2} \pm \frac{3}{2}}{2} \] Получаем два корня: \[ \sin x_1 = \frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] \[ \sin x_2 = \frac{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}}{2} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2} \] <li> Найти значения \( x \) в отрезке \(\left[\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]\), соответствующие найденным значениям \(\sin x\): </li> \[ \sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} \] \[ \sin x = -\frac{1}{2} \implies x = \frac{7\pi}{6} \quad \text{(в данном отрезке нет таких значений)} \] <li> Вычислить значения функции \( f(x) \) в критических точках и на концах отрезка: </li> \[ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin \left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = 2 \cdot 0 - \sin \pi = 0 \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: </li> В данном случае, так как отрезок \(\left[\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]\) представляет собой одну точку, наибольшее и наименьшее значение функции совпадают и равны 0. </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 0 \) <br> Наименьшее значение: \( 0 \)