Экзамены с этой задачей: Исследование тригонометрических функций

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \(f\) на указанном отрезке: \(f (x) = \sqrt{3} sin 2x +cos 2x -5\), \([0; \frac{\pi}{3}]\).

Ответ

\(-3; -4\).

Решение № 49340:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( f(x) = \sqrt{3} \sin 2x + \cos 2x - 5 \) на отрезке \( [0; \frac{\pi}{3}] \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( f(x) \): </li> \[ f'(x) = \frac{d}{dx} (\sqrt{3} \sin 2x + \cos 2x - 5) = 2\sqrt{3} \cos 2x - 2 \sin 2x \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( f'(x) = 0 \): </li> \[ 2\sqrt{3} \cos 2x - 2 \sin 2x = 0 \] <li> Решим это уравнение: </li> \[ \sqrt{3} \cos 2x = \sin 2x \] \[ \tan 2x = \sqrt{3} \] \[ 2x = \frac{\pi}{3} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{\pi}{6} + \frac{n\pi}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} \] <li> Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \( [0; \frac{\pi}{3}] \): </li> \[ x = \frac{\pi}{6} \] <li> Вычислить значения функции \( f(x) \) в критических точках и на концах отрезка: </li> \[ f(0) = \sqrt{3} \sin 0 + \cos 0 - 5 = 0 + 1 - 5 = -4 \] \[ f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) - 5 = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} - 5 = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} - 5 = 2 - 5 = -3 \] \[ f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \sin \left(\frac{2\pi}{3}\right) + \cos \left(\frac{2\pi}{3}\right) - 5 = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \left(-\frac{1}{2}\right) - 5 = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} - 5 = 1 - 5 = -4 \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: </li> \[ f(0) = -4, \quad f\left(\frac{\pi}{6}\right) = -3, \quad f\left(\frac{\pi}{3}\right) = -4 \] Наибольшее значение: \( f\left(\frac{\pi}{6}\right) = -3 \) Наименьшее значение: \( f(0) = -4 \) </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( -3 \) <br> Наименьшее значение: \( -4 \)