Экзамены с этой задачей: Исследование тригонометрических функций

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найти наименьшее значение функции на отрезке\(y=sinx+cos2x\) на отрезке \([0;\pi ]\)

Ответ

0

Решение № 13582:

Для нахождения наименьшего значения функции \( y = \sin x + \cos 2x \) на отрезке \([0; \pi]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(\sin x + \cos 2x) = \cos x - 2 \sin 2x \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ \cos x - 2 \sin 2x = 0 \] <li> Использовать тригонометрическое тождество для \( \sin 2x \): </li> \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \] <li> Подставить тождество в уравнение: </li> \[ \cos x - 2(2 \sin x \cos x) = 0 \] \[ \cos x - 4 \sin x \cos x = 0 \] <li> Вынести \( \cos x \) за скобки: </li> \[ \cos x (1 - 4 \sin x) = 0 \] <li> Рассмотреть два случая: </li> \[ \cos x = 0 \quad \text{или} \quad 1 - 4 \sin x = 0 \] <li> Решить уравнение \( \cos x = 0 \): </li> \[ x = \frac{\pi}{2} \] <li> Решить уравнение \( 1 - 4 \sin x = 0 \): </li> \[ 4 \sin x = 1 \] \[ \sin x = \frac{1}{4} \] \[ x = \arcsin \frac{1}{4} \] <li> Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([0; \pi]\): </li> \[ x = \frac{\pi}{2} \quad \text{и} \quad x = \arcsin \frac{1}{4} \] <li> Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: </li> \[ y(0) = \sin 0 + \cos 0 = 0 + 1 = 1 \] \[ y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin \frac{\pi}{2} + \cos \pi = 1 + (-1) = 0 \] \[ y(\pi) = \sin \pi + \cos 2\pi = 0 + 1 = 1 \] \[ y\left(\arcsin \frac{1}{4}\right) = \sin \left(\arcsin \frac{1}{4}\right) + \cos \left(2 \arcsin \frac{1}{4}\right) \] \[ = \frac{1}{4} + \cos \left(2 \arcsin \frac{1}{4}\right) \] <li> Использовать тождество для \( \cos 2\theta \): </li> \[ \cos 2\theta = 1 - 2 \sin^2 \theta \] \[ \cos \left(2 \arcsin \frac{1}{4}\right) = 1 - 2 \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - 2 \cdot \frac{1}{16} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \] <li> Подставить значение \( \cos \left(2 \arcsin \frac{1}{4}\right) \) в уравнение: </li> \[ y\left(\arcsin \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4} + \frac{7}{8} = \frac{1}{4} + \frac{7}{8} = \frac{2}{8} + \frac{7}{8} = \frac{9}{8} \] <li> Сравнить полученные значения и определить наименьшее значение функции на отрезке: </li> \[ y(0) = 1, \quad y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0, \quad y(\pi) = 1, \quad y\left(\arcsin \frac{1}{4}\right) = \frac{9}{8} \] <li> Наименьшее значение: \( y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \) </li> </ol> Ответ: <br> Наименьшее значение: \( 0 \)