Экзамены с этой задачей: Исследование тригонометрических функций

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \(f\) на указанном отрезке: \(f(x)=\sqrt{3} sin x + cos x\), \([0; \pi]\).

Ответ

2; -1

Решение № 49335:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( f(x) = \sqrt{3} \sin x + \cos x \) на отрезке \([0; \pi]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( f(x) \): </li> \[ f'(x) = \frac{d}{dx} (\sqrt{3} \sin x + \cos x) = \sqrt{3} \cos x - \sin x \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( f'(x) = 0 \): </li> \[ \sqrt{3} \cos x - \sin x = 0 \] <li> Переписать уравнение в виде: </li> \[ \sqrt{3} \cos x = \sin x \] <li> Разделить обе части уравнения на \( \cos x \) (при \( \cos x \neq 0 \)): </li> \[ \sqrt{3} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x \] <li> Решить уравнение \( \tan x = \sqrt{3} \): </li> \[ x = \frac{\pi}{3} \] <li> Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([0; \pi]\): </li> Критическая точка \( x = \frac{\pi}{3} \) попадает в отрезок \([0; \pi]\). <li> Вычислить значения функции \( f(x) \) в критических точках и на концах отрезка: </li> \[ f(0) = \sqrt{3} \sin 0 + \cos 0 = 0 + 1 = 1 \] \[ f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2 \] \[ f(\pi) = \sqrt{3} \sin \pi + \cos \pi = 0 - 1 = -1 \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: </li> Наибольшее значение: \( f\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \) <br> Наименьшее значение: \( f(\pi) = -1 \) </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 2 \) <br> Наименьшее значение: \( -1 \)