Экзамены с этой задачей: Исследование тригонометрических функций

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \(f\) на указанном отрезке: \(f (x) = 2 sin 2x + cos 4x\), \([0; \frac{\pi}{3}]\).

Ответ

\(\frac{3}{2}; 1\).

Решение № 49339:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( f(x) = 2 \sin 2x + \cos 4x \) на отрезке \([0; \frac{\pi}{3}]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( f(x) \): </li> \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2 \sin 2x + \cos 4x) = 4 \cos 2x - 4 \sin 4x \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( f'(x) = 0 \): </li> \[ 4 \cos 2x - 4 \sin 4x = 0 \] <li> Упростить уравнение: </li> \[ \cos 2x - \sin 4x = 0 \] <li> Использовать тождество для синуса и косинуса: </li> \[ \sin 4x = \sin (2 \cdot 2x) = 2 \sin 2x \cos 2x \] <li> Подставить тождество в уравнение: </li> \[ \cos 2x - 2 \sin 2x \cos 2x = 0 \] <li> Факторизовать уравнение: </li> \[ \cos 2x (1 - 2 \sin 2x) = 0 \] <li> Решить получившееся уравнение: </li> \[ \cos 2x = 0 \quad \text{или} \quad 1 - 2 \sin 2x = 0 \] <li> Решить первое уравнение: </li> \[ \cos 2x = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} \] <li> Решить второе уравнение: </li> \[ 1 - 2 \sin 2x = 0 \implies \sin 2x = \frac{1}{2} \implies 2x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{или} \quad 2x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \] <li> Решить для \( x \): </li> \[ x = \frac{\pi}{12} + \pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{12} + \pi k \] <li> Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([0; \frac{\pi}{3}]\): </li> \[ x = \frac{\pi}{4} \quad \text{(попадает)} \] \[ x = \frac{\pi}{12} \quad \text{(попадает)} \] \[ x = \frac{5\pi}{12} \quad \text{(не попадает)} \] <li> Вычислить значения функции \( f(x) \) в критических точках и на концах отрезка: </li> \[ f(0) = 2 \sin 0 + \cos 0 = 0 + 1 = 1 \] \[ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos \pi = 2 \cdot 1 + (-1) = 1 \] \[ f\left(\frac{\pi}{12}\right) = 2 \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) + \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = 1.5 \] \[ f\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \sin \left(\frac{2\pi}{3}\right) + \cos \left(\frac{4\pi}{3}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \left(-\frac{1}{2}\right) = \sqrt{3} - \frac{1}{2} \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: </li> \[ \text{Наибольшее значение: } f\left(\frac{\pi}{12}\right) = 1.5 \] \[ \text{Наименьшее значение: } f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} - \frac{1}{2} \] </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 1.5 \) <br> Наименьшее значение: \( \sqrt{3} - \frac{1}{2} \)