Экзамены с этой задачей: Исследование тригонометрических функций

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \(f\) на указанном отрезке: \(f(x)=2 cos(4x+\frac{\pi}{6})\), \([-\frac{\pi}{12}; \frac{\pi}{3}]\).

Ответ

2; -2

Решение № 49336:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( f(x) = 2 \cos(4x + \frac{\pi}{6}) \) на отрезке \([- \frac{\pi}{12}; \frac{\pi}{3}]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( f(x) \): </li> \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( 2 \cos(4x + \frac{\pi}{6}) \right) = -8 \sin(4x + \frac{\pi}{6}) \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( f'(x) = 0 \): </li> \[ -8 \sin(4x + \frac{\pi}{6}) = 0 \implies \sin(4x + \frac{\pi}{6}) = 0 \] <li> Решить уравнение относительно \( x \): </li> \[ 4x + \frac{\pi}{6} = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{k\pi}{4} - \frac{\pi}{24} \] <li> Найти значения \( x \), которые попадают в отрезок \([- \frac{\pi}{12}; \frac{\pi}{3}]\): </li> \[ x = \frac{k\pi}{4} - \frac{\pi}{24} \] \[ -\frac{\pi}{12} \leq \frac{k\pi}{4} - \frac{\pi}{24} \leq \frac{\pi}{3} \] \[ -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{24} \leq \frac{k\pi}{4} \leq \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{24} \] \[ -\frac{\pi}{24} \leq \frac{k\pi}{4} \leq \frac{3\pi}{8} \] \[ -\frac{1}{6} \leq k \leq \frac{3}{2} \] \[ k = 0 \implies x = -\frac{\pi}{24} \] \[ k = 1 \implies x = \frac{\pi}{6} \] <li> Вычислить значения функции \( f(x) \) в критических точках и на концах отрезка: </li> \[ f\left(-\frac{\pi}{12}\right) = 2 \cos\left(4 \left(-\frac{\pi}{12}\right) + \frac{\pi}{6}\right) = 2 \cos\left(-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = 2 \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \] \[ f\left(-\frac{\pi}{24}\right) = 2 \cos\left(4 \left(-\frac{\pi}{24}\right) + \frac{\pi}{6}\right) = 2 \cos\left(-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}\right) = 2 \cos(0) = 2 \] \[ f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cos\left(4 \left(\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{6}\right) = 2 \cos\left(\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = 2 \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\sqrt{3} \] \[ f\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cos\left(4 \left(\frac{\pi}{3}\right) + \frac{\pi}{6}\right) = 2 \cos\left(\frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = 2 \cos\left(\frac{9\pi}{6}\right) = 2 \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0 \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: </li> \[ \text{Наибольшее значение: } f\left(-\frac{\pi}{24}\right) = 2 \] \[ \text{Наименьшее значение: } f\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\sqrt{3} \] </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 2 \) <br> Наименьшее значение: \( -\sqrt{3} \)