Решение №3064: Для нахождения критических точек функции \( y = \frac{x^2}{17} - \ln(x^2 - 8) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{17} - \ln(x^2 - 8)\right) \]
2. Вычислить производную каждого слагаемого:
\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{17}\right) = \frac{2x}{17} \] \[ \frac{d}{dx}\left(-\ln(x^2 - 8)\right) = -\frac{1}{x^2 - 8} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 - 8) = -\frac{1}{x^2 - 8} \cdot 2x = -\frac{2x}{x^2 - 8} \]
3. Итоговая производная:
\[ y' = \frac{2x}{17} - \frac{2x}{x^2 - 8} \]
4. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{2x}{17} - \frac{2x}{x^2 - 8} = 0 \]
5. Упростить уравнение:
\[ \frac{2x}{17} = \frac{2x}{x^2 - 8} \]
6. Рассмотреть случай, когда \( x = 0 \):
\[ \frac{2 \cdot 0}{17} = \frac{2 \cdot 0}{0^2 - 8} \implies 0 = 0 \] Это верно, значит \( x = 0 \) является критической точкой.
7. Рассмотреть случай, когда \( x \neq 0 \):
\[ \frac{2x}{17} = \frac{2x}{x^2 - 8} \implies \frac{1}{17} = \frac{1}{x^2 - 8} \]
8. Умножить обе стороны на 17 и \( x^2 - 8 \):
\[ 17 = x^2 - 8 \]
9. Решить уравнение относительно \( x^2 \):
\[ x^2 = 25 \]
10. Найти \( x \):
\[ x = \pm 5 \]
11. Проверить, какие из найденных точек \( x = 0 \), \( x = 5 \), \( x = -5 \) попадают в область определения функции \( y = \frac{x^2}{17} - \ln(x^2 - 8) \):
\[ x^2 - 8 > 0 \implies x^2 > 8 \implies x > \sqrt{8} \text{ или } x < -\sqrt{8} \]
12. Поскольку \( \sqrt{8} \approx 2.83 \), точки \( x = 0 \) и \( x = 5 \) не попадают в область определения функции. Точка \( x = -5 \) попадает.

Ответ: {-5;5}

Решение №3117: Для нахождения точек максимумов и минимумов функции \( y = xe^{x-x^2} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(xe^{x-x^2}) \]
2. Использовать правило произведения для нахождения производной:
\[ y' = \frac{d}{dx}(x) \cdot e^{x-x^2} + x \cdot \frac{d}{dx}(e^{x-x^2}) \]
3. Найти производные каждого из множителей:
\[ \frac{d}{dx}(x) = 1 \] \[ \frac{d}{dx}(e^{x-x^2}) = e^{x-x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x-x^2) = e^{x-x^2} \cdot (1 - 2x) \]
4. Подставить найденные производные в выражение для \( y' \):
\[ y' = 1 \cdot e^{x-x^2} + x \cdot e^{x-x^2} \cdot (1 - 2x) \] \[ y' = e^{x-x^2} \left( 1 + x(1 - 2x) \right) \] \[ y' = e^{x-x^2} \left( 1 + x - 2x^2 \right) \]
5. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ e^{x-x^2} \left( 1 + x - 2x^2 \right) = 0 \]
6. Так как \( e^{x-x^2} \) никогда не равно нулю, уравнение сводится к:
\[ 1 + x - 2x^2 = 0 \]
7. Решить квадратное уравнение:
\[ 2x^2 - x - 1 = 0 \]
8. Использовать формулу для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
9. Подставить коэффициенты \( a = 2 \), \( b = -1 \), \( c = -1 \):
\[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4} \] \[ x = \frac{1 \pm 3}{4} \]
10. Получить два корня:
\[ x_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1 \] \[ x_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2} \]
11. Проверить вторую производную для определения характера критических точек:
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( e^{x-x^2} \left( 1 + x - 2x^2 \right) \right) \]
12. Использовать правило произведения для нахождения второй производной:
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( e^{x-x^2} \right) \cdot \left( 1 + x - 2x^2 \right) + e^{x-x^2} \cdot \frac{d}{dx} \left( 1 + x - 2x^2 \right) \] \[ y' = e^{x-x^2} \cdot (1 - 2x) \cdot \left( 1 + x - 2x^2 \right) + e^{x-x^2} \cdot (1 - 4x) \]
13. Подставить критические точки \( x = 1 \) и \( x = -\frac{1}{2} \) во вторую производную и определить характер точек:
\[ y'(1) = e^{1-1^2} \left( 1 - 2 \cdot 1 \right) \left( 1 + 1 - 2 \cdot 1^2 \right) + e^{1-1^2} \left( 1 - 4 \cdot 1 \right) \] \[ y'(1) = e^0 \left( -1 \right) \left( 0 \right) + e^0 \left( -3 \right) \] \[ y'(1) = -3 < 0 \quad \text{(максимум)} \] \[ y'\left(-\frac{1}{2}\right) = e^{-\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right)^2} \left( 1 - 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \right) \left( 1 - \frac{1}{2} - 2 \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \right) + e^{-\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right)^2} \left( 1 - 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \right) \] \[ y'\left(-\frac{1}{2}\right) = e^{-\frac{1}{4}} \left( 2 \right) \left( 0 \right) + e^{-\frac{1}{4}} \left( 3 \right) \] \[ y'\left(-\frac{1}{2}\right) = 3e^{-\frac{1}{4}} > 0 \quad \text{(минимум)} \]

Ответ: x_{max}=1, x_{min}=-\frac{1}{2}

Решение №3129: Для нахождения точек максимумов и минимумов функции \( y = e^{-2x} \sin^2 x \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(e^{-2x} \sin^2 x) \]
2. Использовать правило произведения для дифференцирования:
\[ y' = \left( e^{-2x} \right)' \sin^2 x + e^{-2x} \left( \sin^2 x \right)' \]
3. Найти производные каждой части:
\[ \left( e^{-2x} \right)' = -2e^{-2x} \] \[ \left( \sin^2 x \right)' = 2 \sin x \cos x \]
4. Подставить производные в формулу:
\[ y' = -2e^{-2x} \sin^2 x + e^{-2x} \cdot 2 \sin x \cos x \]
5. Упростить выражение:
\[ y' = e^{-2x} \left( -2 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x \right) \]
6. Приравнять производную к нулю для нахождения критических точек:
\[ e^{-2x} \left( -2 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x \right) = 0 \]
7. Так как \( e^{-2x} \neq 0 \) для всех \( x \), уравнение упрощается до:
\[ -2 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x = 0 \]
8. Разделить уравнение на 2:
\[ -\sin^2 x + \sin x \cos x = 0 \]
9. Вынести общий множитель \( \sin x \):
\[ \sin x (-\sin x + \cos x) = 0 \]
10. Рассмотреть два случая:
\[ \sin x = 0 \quad \text{или} \quad -\sin x + \cos x = 0 \]
11. Решить первое уравнение:
\[ \sin x = 0 \implies x = n\pi \quad \text{где} \quad n \in \mathbb{Z} \]
12. Решить второе уравнение:
\[ -\sin x + \cos x = 0 \implies \sin x = \cos x \implies \tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \]
13. Определить, какие из этих точек являются точками максимума и минимума:
\[ \text{В точках} \quad x = n\pi \quad \text{значение функции} \quad y = e^{-2n\pi} \sin^2(n\pi) = 0 \] \[ \text{В точках} \quad x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad \text{значение функции} \quad y = e^{-2(\frac{\pi}{4} + k\pi)} \sin^2(\frac{\pi}{4} + k\pi) \]
14. Проверить вторую производную для определения характера критических точек:
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( e^{-2x} \left( -2 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x \right) \right) \]
15. Дифференцировать и упростить выражение:
\[ y' = e^{-2x} \left( 4 \sin^2 x - 4 \sin x \cos x - 4 \cos^2 x \right) \]
16. Определить знак второй производной в критических точках:
\[ \text{Для} \quad x = n\pi \quad y' = e^{-2n\pi} \left( 4 \sin^2(n\pi) - 4 \sin(n\pi) \cos(n\pi) - 4 \cos^2(n\pi) \right) = -4e^{-2n\pi} < 0 \] \[ \text{Для} \quad x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad y' = e^{-2(\frac{\pi}{4} + k\pi)} \left( 4 \sin^2(\frac{\pi}{4} + k\pi) - 4 \sin(\frac{\pi}{4} + k\pi) \cos(\frac{\pi}{4} + k\pi) - 4 \cos^2(\frac{\pi}{4} + k\pi) \right) \]
17. Сравнить значения и определить точки максимума и минимума:
\[ \text{Точки} \quad x = n\pi \quad \text{являются точками максимума} \] \[ \text{Точки} \quad x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad \text{являются точками минимума} \]

Ответ: x_{min}=\pi n, n\in Z; x_{max}=\frac{\pi }{4}+\pi k, k,n\in Z

Решение №3409: Для нахождения наименьшего значения функции \( y = 2 \cdot 3^{3x} - 4 \cdot 2^{2x} + 2 \cdot 3^x \) на отрезке \([-1; 1]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( 2 \cdot 3^{3x} - 4 \cdot 2^{2x} + 2 \cdot 3^x \right) \] \[ y' = 6 \cdot 3^{3x} \ln(3) - 8 \cdot 2^{2x} \ln(2) + 2 \cdot 3^x \ln(3) \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 6 \cdot 3^{3x} \ln(3) - 8 \cdot 2^{2x} \ln(2) + 2 \cdot 3^x \ln(3) = 0 \]
3. Упростить уравнение:
\[ 6 \cdot 3^{3x} \ln(3) + 2 \cdot 3^x \ln(3) = 8 \cdot 2^{2x} \ln(2) \] \[ \ln(3) (6 \cdot 3^{3x} + 2 \cdot 3^x) = 8 \cdot 2^{2x} \ln(2) \] \[ 3^x (6 \cdot 3^{2x} + 2) = \frac{8 \cdot 2^{2x} \ln(2)}{\ln(3)} \]
4. Решить уравнение относительно \( x \):
Это уравнение сложно решить аналитически, поэтому можно использовать численные методы или графики для нахождения критических точек.
5. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([-1; 1]\).
6. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(-1) = 2 \cdot 3^{-3} - 4 \cdot 2^{-2} + 2 \cdot 3^{-1} = \frac{2}{27} - \frac{4}{4} + \frac{2}{3} = \frac{2}{27} - 1 + \frac{2}{3} = \frac{2}{27} - \frac{27}{27} + \frac{18}{27} = \frac{2 - 27 + 18}{27} = \frac{-7}{27} \] \[ y(1) = 2 \cdot 3^3 - 4 \cdot 2^2 + 2 \cdot 3^1 = 2 \cdot 27 - 4 \cdot 4 + 2 \cdot 3 = 54 - 16 + 6 = 44 \]
7. Сравнить полученные значения и определить наименьшее значение функции на отрезке.
Наименьшее значение: \( y(-1) = -\frac{7}{27} \)

Ответ: 0

Решение №3421: Для нахождения наибольшего значения функции \( y = \frac{1}{\ln 2}(2^x + 2^{-x}) \) на отрезке \([-1; 2]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\ln 2}(2^x + 2^{-x})\right) \]
2. Применим правило производной суммы и цепного правила:
\[ y' = \frac{1}{\ln 2} \left( \frac{d}{dx}(2^x) + \frac{d}{dx}(2^{-x}) \right) \]
3. Найдем производные каждого слагаемого:
\[ \frac{d}{dx}(2^x) = 2^x \ln 2 \] \[ \frac{d}{dx}(2^{-x}) = 2^{-x} \ln 2 \cdot (-1) = -2^{-x} \ln 2 \]
4. Подставим производные обратно в выражение для \( y' \):
\[ y' = \frac{1}{\ln 2} \left( 2^x \ln 2 - 2^{-x} \ln 2 \right) \] \[ y' = 2^x - 2^{-x} \]
5. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 2^x - 2^{-x} = 0 \]
6. Решим уравнение относительно \( x \):
\[ 2^x = 2^{-x} \]
7. Подставим \( u = 2^x \):
\[ u = \frac{1}{u} \] \[ u^2 = 1 \] \[ u = \pm 1 \]
8. Так как \( u = 2^x > 0 \), то \( u = 1 \):
\[ 2^x = 1 \implies x = 0 \]
9. Проверим, попадает ли критическая точка \( x = 0 \) в отрезок \([-1; 2]\):
Критическая точка \( x = 0 \) попадает в отрезок \([-1; 2]\).
10. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(-1) = \frac{1}{\ln 2}(2^{-1} + 2^1) = \frac{1}{\ln 2}\left(\frac{1}{2} + 2\right) = \frac{1}{\ln 2} \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{2 \ln 2} \] \[ y(0) = \frac{1}{\ln 2}(2^0 + 2^0) = \frac{1}{\ln 2}(1 + 1) = \frac{2}{\ln 2} \] \[ y(2) = \frac{1}{\ln 2}(2^2 + 2^{-2}) = \frac{1}{\ln 2}\left(4 + \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{\ln 2} \cdot \frac{17}{4} = \frac{17}{4 \ln 2} \]
11. Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке:
\[ y(-1) = \frac{5}{2 \ln 2} \approx 3.608 \] \[ y(0) = \frac{2}{\ln 2} \approx 2.885 \] \[ y(2) = \frac{17}{4 \ln 2} \approx 5.983 \]
12. Наибольшее значение: \( y(2) = \frac{17}{4 \ln 2} \)

Ответ: 17/(4ln2)

Решение №7008: Для нахождения точек максимумов и минимумов функции \( y = \frac{x}{\ln x} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{\ln x} \right) \]
2. Применим правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{(\ln x) \cdot \frac{d}{dx}(x) - x \cdot \frac{d}{dx}(\ln x)}{(\ln x)^2} \]
3. Вычислим производные: \[ \frac{d}{dx}(x) = 1 \quad \text{и} \quad \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} \]
4. Подставим производные в формулу: \[ y' = \frac{\ln x \cdot 1 - x \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^2} = \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2} \]
5. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): \[ \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2} = 0 \]
6. Решим уравнение относительно \( x \): \[ \ln x - 1 = 0 \implies \ln x = 1 \implies x = e \]
7. Проверим, является ли точка \( x = e \) точкой экстремума, используя вторую производную: \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2} \right) \]
8. Вычислим вторую производную: \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2} \right) \]
9. Применим правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{(\ln x)^2 \cdot \frac{d}{dx}(\ln x - 1) - (\ln x - 1) \cdot \frac{d}{dx}((\ln x)^2)}{((\ln x)^2)^2} \]
10. Вычислим производные: \[ \frac{d}{dx}(\ln x - 1) = \frac{1}{x} \quad \text{и} \quad \frac{d}{dx}((\ln x)^2) = 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} \]
11. Подставим производные в формулу: \[ y' = \frac{(\ln x)^2 \cdot \frac{1}{x} - (\ln x - 1) \cdot 2 \ln x \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^4} \]
12. Упростим выражение: \[ y' = \frac{(\ln x)^2 \cdot \frac{1}{x} - 2 (\ln x)^2 \cdot \frac{1}{x} + 2 \ln x \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^4} \] \[ y' = \frac{-\ln x + 2}{x (\ln x)^3} \]
13. Оценим вторую производную в точке \( x = e \): \[ y'(e) = \frac{-\ln e + 2}{e (\ln e)^3} = \frac{-1 + 2}{e \cdot 1^3} = \frac{1}{e} > 0 \]
14. Так как вторая производная положительна в точке \( x = e \), точка \( x = e \) является точкой минимума.

Ответ: x_{min}=e

Решение №13211: Для нахождения критических точек функции \( y = 5^{2x+1} - 2 \cdot 5^{x+3} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( 5^{2x+1} - 2 \cdot 5^{x+3} \right) \] Используем правило дифференцирования для функции вида \( a^{u(x)} \): \[ \frac{d}{dx} \left( a^{u(x)} \right) = a^{u(x)} \ln(a) \cdot \frac{d}{dx} u(x) \] Тогда: \[ \frac{d}{dx} \left( 5^{2x+1} \right) = 5^{2x+1} \ln(5) \cdot \frac{d}{dx} (2x+1) = 5^{2x+1} \ln(5) \cdot 2 \] \[ \frac{d}{dx} \left( 2 \cdot 5^{x+3} \right) = 2 \cdot 5^{x+3} \ln(5) \cdot \frac{d}{dx} (x+3) = 2 \cdot 5^{x+3} \ln(5) \] Таким образом: \[ y' = 2 \cdot 5^{2x+1} \ln(5) - 2 \cdot 5^{x+3} \ln(5) \] \[ y' = 2 \ln(5) \left( 5^{2x+1} - 5^{x+3} \right) \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 2 \ln(5) \left( 5^{2x+1} - 5^{x+3} \right) = 0 \] Поскольку \( 2 \ln(5) \neq 0 \), то: \[ 5^{2x+1} - 5^{x+3} = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 5^{2x+1} = 5^{x+3} \] Поскольку основания одинаковы, равенство показателей экспонент: \[ 2x + 1 = x + 3 \] \[ 2x - x = 3 - 1 \] \[ x = 2 \]

Ответ: 2

Решение №13301: Для нахождения точек максимумов и минимумов функции \( y = 6x + e^{-6x} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(6x + e^{-6x}) = 6 - 6e^{-6x} \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 6 - 6e^{-6x} = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 6 - 6e^{-6x} = 0 \implies \] \[ 6(1 - e^{-6x}) = 0 \implies \] \[ 1 - e^{-6x} = 0 \implies \] \[ e^{-6x} = 1 \]
4. Взять натуральный логарифм обеих частей уравнения:
\[ -6x = 0 \implies \] \[ x = 0 \]
5. Проверить поведение функции в окрестности критической точки \( x = 0 \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(6 - 6e^{-6x}) = 36e^{-6x} \]
6. Определить знак второй производной в точке \( x = 0 \):
\[ y'(0) = 36e^{-6 \cdot 0} = 36 > 0 \]
7. Так как вторая производная положительна в точке \( x = 0 \), точка \( x = 0 \) является точкой минимума.
8. Вычислить значение функции в точке минимума:
\[ y(0) = 6 \cdot 0 + e^{-6 \cdot 0} = 1 \]

Ответ: x_{min}=0

Решение №13306: Для нахождения точек максимумов и минимумов функции \( y = \frac{x^2}{17} - \ln(x^2 - 8) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{17} - \ln(x^2 - 8)\right) \]
2. Разделим производную на две части:
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{17}\right) - \frac{d}{dx}\left(\ln(x^2 - 8)\right) \]
3. Найдем производные каждой части:
\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{17}\right) = \frac{2x}{17} \] \[ \frac{d}{dx}\left(\ln(x^2 - 8)\right) = \frac{1}{x^2 - 8} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 - 8) = \frac{1}{x^2 - 8} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 - 8} \]
4. Объединим производные:
\[ y' = \frac{2x}{17} - \frac{2x}{x^2 - 8} \]
5. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{2x}{17} - \frac{2x}{x^2 - 8} = 0 \]
6. Вынесем \( 2x \) за скобку:
\[ 2x \left( \frac{1}{17} - \frac{1}{x^2 - 8} \right) = 0 \]
7. Решим уравнение:
\[ 2x = 0 \quad \text{или} \quad \frac{1}{17} - \frac{1}{x^2 - 8} = 0 \]
8. Решение \( 2x = 0 \):
\[ x = 0 \]
9. Решение \( \frac{1}{17} - \frac{1}{x^2 - 8} = 0 \):
\[ \frac{1}{17} = \frac{1}{x^2 - 8} \] \[ 17 = x^2 - 8 \] \[ x^2 = 25 \] \[ x = \pm 5 \]
10. Проверим, какие из критических точек попадают в область определения функции \( x^2 - 8 > 0 \):
\[ x > \sqrt{8} \quad \text{или} \quad x < -\sqrt{8} \]
11. Точки \( x = 0 \) и \( x = -5 \) не попадают в область определения. Точка \( x = 5 \) попадает.
12. Вычислим значения функции в критических точках:
\[ y(5) = \frac{5^2}{17} - \ln(5^2 - 8) = \frac{25}{17} - \ln(25 - 8) = \frac{25}{17} - \ln(17) \]
13. Сравним значения функции в критических точках и определим точки максимумов и минимумов:

Ответ: x_{min}=-5, x_{min}=5

Решение №13579: Для нахождения наименьшего значения функции \( y = x \ln 5 - x \ln x \) на отрезке \(\left[ \frac{5}{3}; \frac{5}{2} \right]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(x \ln 5 - x \ln x) \] \[ y' = \ln 5 - (\ln x + x \cdot \frac{1}{x}) \] \[ y' = \ln 5 - \ln x - 1 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \ln 5 - \ln x - 1 = 0 \] \[ \ln 5 - \ln x = 1 \] \[ \ln \frac{5}{x} = 1 \] \[ \frac{5}{x} = e \] \[ x = \frac{5}{e} \]
3. Проверить, попадает ли критическая точка в отрезок \(\left[ \frac{5}{3}; \frac{5}{2} \right]\):
\[ \frac{5}{e} \approx 1.839 \quad \text{(не попадает в отрезок \(\left[ \frac{5}{3}; \frac{5}{2} \right]\))} \]
4. Вычислить значения функции \( y \) на концах отрезка:
\[ y\left( \frac{5}{3} \right) = \frac{5}{3} \ln 5 - \frac{5}{3} \ln \left( \frac{5}{3} \right) \] \[ y\left( \frac{5}{2} \right) = \frac{5}{2} \ln 5 - \frac{5}{2} \ln \left( \frac{5}{2} \right) \]
5. Вычислим значения:
\[ y\left( \frac{5}{3} \right) = \frac{5}{3} \ln 5 - \frac{5}{3} \left( \ln 5 - \ln 3 \right) \] \[ y\left( \frac{5}{3} \right) = \frac{5}{3} \ln 5 - \frac{5}{3} \ln 5 + \frac{5}{3} \ln 3 \] \[ y\left( \frac{5}{3} \right) = \frac{5}{3} \ln 3 \] \[ y\left( \frac{5}{2} \right) = \frac{5}{2} \ln 5 - \frac{5}{2} \left( \ln 5 - \ln 2 \right) \] \[ y\left( \frac{5}{2} \right) = \frac{5}{2} \ln 5 - \frac{5}{2} \ln 5 + \frac{5}{2} \ln 2 \] \[ y\left( \frac{5}{2} \right) = \frac{5}{2} \ln 2 \]
6. Сравнить полученные значения и определить наименьшее значение функции на отрезке:
\[ \frac{5}{3} \ln 3 \quad \text{и} \quad \frac{5}{2} \ln 2 \] \[ \ln 3 \approx 1.0986 \quad \text{и} \quad \ln 2 \approx 0.6931 \] \[ \frac{5}{3} \ln 3 \approx 1.831 \quad \text{и} \quad \frac{5}{2} \ln 2 \approx 1.7328 \] \[ \text{Наименьшее значение:} \quad y\left( \frac{5}{2} \right) = \frac{5}{2} \ln 2 \]

Ответ: 2,5ln2

Решение №13580: Для нахождения наименьшего значения функции \( y = \frac{1}{\ln 2}(2^x + 2^{-x}) \) на отрезке \([-1; 2]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\ln 2}(2^x + 2^{-x})\right) \] Применяем правило производной суммы и производной составной функции: \[ y' = \frac{1}{\ln 2} \left( \frac{d}{dx}(2^x) + \frac{d}{dx}(2^{-x}) \right) \] \[ y' = \frac{1}{\ln 2} \left( 2^x \ln 2 + 2^{-x} (-\ln 2) \right) \] \[ y' = \frac{1}{\ln 2} \left( 2^x \ln 2 - 2^{-x} \ln 2 \right) \] \[ y' = 2^x - 2^{-x} \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 2^x - 2^{-x} = 0 \] \[ 2^x = 2^{-x} \] \[ 2^{2x} = 1 \] \[ 2x = 0 \] \[ x = 0 \]
3. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([-1; 2]\):
Критическая точка \( x = 0 \) попадает в отрезок \([-1; 2]\).
4. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(-1) = \frac{1}{\ln 2}(2^{-1} + 2^1) = \frac{1}{\ln 2}\left(\frac{1}{2} + 2\right) = \frac{1}{\ln 2} \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{2 \ln 2} \] \[ y(0) = \frac{1}{\ln 2}(2^0 + 2^0) = \frac{1}{\ln 2}(1 + 1) = \frac{2}{\ln 2} \] \[ y(2) = \frac{1}{\ln 2}(2^2 + 2^{-2}) = \frac{1}{\ln 2}\left(4 + \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{\ln 2} \cdot \frac{17}{4} = \frac{17}{4 \ln 2} \]
5. Сравнить полученные значения и определить наименьшее значение функции на отрезке:
\[ y(-1) = \frac{5}{2 \ln 2} \] \[ y(0) = \frac{2}{\ln 2} \] \[ y(2) = \frac{17}{4 \ln 2} \] Сравнивая эти значения, видим, что наименьшее значение \( y \) достигается в точке \( x = 0 \): \[ y(0) = \frac{2}{\ln 2} \]

Ответ: \underset{[-1;2]}{max} y(x)=\frac{17}{4ln2}; \underset{[-1;2]}{min} y(x)=\frac{2}{ln2}

Решение №13592: Для нахождения наибольшего значения функции \( y = x \ln 5 - x \ln x \) на отрезке \(\left[ \frac{5}{3}; \frac{5}{2} \right]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(x \ln 5 - x \ln x) \] \[ y' = \ln 5 - (\ln x + x \cdot \frac{1}{x}) \] \[ y' = \ln 5 - \ln x - 1 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \ln 5 - \ln x - 1 = 0 \] \[ \ln 5 - \ln x = 1 \] \[ \ln \left( \frac{5}{x} \right) = 1 \] \[ \frac{5}{x} = e \] \[ x = \frac{5}{e} \]
3. Проверить, попадает ли критическая точка в отрезок \(\left[ \frac{5}{3}; \frac{5}{2} \right]\):
\[ \frac{5}{e} \approx 1.839 \quad \text{(не попадает в отрезок \(\left[ \frac{5}{3}; \frac{5}{2} \right]\))} \]
4. Вычислить значения функции \( y \) на концах отрезка:
\[ y\left( \frac{5}{3} \right) = \frac{5}{3} \ln 5 - \frac{5}{3} \ln \left( \frac{5}{3} \right) \] \[ y\left( \frac{5}{3} \right) = \frac{5}{3} \ln 5 - \frac{5}{3} \left( \ln 5 - \ln 3 \right) \] \[ y\left( \frac{5}{3} \right) = \frac{5}{3} \ln 5 - \frac{5}{3} \ln 5 + \frac{5}{3} \ln 3 \] \[ y\left( \frac{5}{3} \right) = \frac{5}{3} \ln 3 \] \[ y\left( \frac{5}{2} \right) = \frac{5}{2} \ln 5 - \frac{5}{2} \ln \left( \frac{5}{2} \right) \] \[ y\left( \frac{5}{2} \right) = \frac{5}{2} \ln 5 - \frac{5}{2} \left( \ln 5 - \ln 2 \right) \] \[ y\left( \frac{5}{2} \right) = \frac{5}{2} \ln 5 - \frac{5}{2} \ln 5 + \frac{5}{2} \ln 2 \] \[ y\left( \frac{5}{2} \right) = \frac{5}{2} \ln 2 \]
5. Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке:
\[ y\left( \frac{5}{3} \right) = \frac{5}{3} \ln 3 \] \[ y\left( \frac{5}{2} \right) = \frac{5}{2} \ln 2 \] \[ \frac{5}{3} \ln 3 \approx 1.83 \quad \text{(логарифмы в основании 10)} \] \[ \frac{5}{2} \ln 2 \approx 1.73 \quad \text{(логарифмы в основании 10)} \]
6. Наибольшее значение:
\[ \text{Наибольшее значение функции на отрезке: } y\left( \frac{5}{3} \right) = \frac{5}{3} \ln 3 \]

Ответ: 5/e

Решение №13594: Для нахождения наибольшего значения функции \( y = 2 \cdot 3^{3x} - 4 \cdot 2^{2x} + 2 \cdot 3^x \) на отрезке \([-1; 1]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( 2 \cdot 3^{3x} - 4 \cdot 2^{2x} + 2 \cdot 3^x \right) \]
2. Вычислим производную каждого слагаемого отдельно:
\[ \frac{d}{dx} \left( 2 \cdot 3^{3x} \right) = 2 \cdot 3^{3x} \cdot \ln(3) \cdot 3 = 6 \cdot 3^{3x} \cdot \ln(3) \] \[ \frac{d}{dx} \left( -4 \cdot 2^{2x} \right) = -4 \cdot 2^{2x} \cdot \ln(2) \cdot 2 = -8 \cdot 2^{2x} \cdot \ln(2) \] \[ \frac{d}{dx} \left( 2 \cdot 3^x \right) = 2 \cdot 3^x \cdot \ln(3) \]
3. Составим производную функции \( y \):
\[ y' = 6 \cdot 3^{3x} \cdot \ln(3) - 8 \cdot 2^{2x} \cdot \ln(2) + 2 \cdot 3^x \cdot \ln(3) \]
4. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 6 \cdot 3^{3x} \cdot \ln(3) - 8 \cdot 2^{2x} \cdot \ln(2) + 2 \cdot 3^x \cdot \ln(3) = 0 \]
5. Это уравнение сложно решить аналитически, поэтому мы можем использовать численные методы или графический анализ для нахождения критических точек.
6. Проверить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(-1) = 2 \cdot 3^{3(-1)} - 4 \cdot 2^{2(-1)} + 2 \cdot 3^{-1} = 2 \cdot 3^{-3} - 4 \cdot 2^{-2} + 2 \cdot 3^{-1} = \frac{2}{27} - \frac{4}{4} + \frac{2}{3} = \frac{2}{27} - 1 + \frac{2}{3} \] \[ y(1) = 2 \cdot 3^{3(1)} - 4 \cdot 2^{2(1)} + 2 \cdot 3^1 = 2 \cdot 3^3 - 4 \cdot 2^2 + 2 \cdot 3 = 2 \cdot 27 - 4 \cdot 4 + 2 \cdot 3 = 54 - 16 + 6 = 44 \]
7. Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке:
\[ y(-1) = \frac{2}{27} - 1 + \frac{2}{3} \approx -0.59 \] \[ y(1) = 44 \]
8. Наибольшее значение на отрезке \([-1; 1]\) является \( y(1) = 44 \).

Ответ: 24

Решение №13611: Для нахождения производной и наименьшего значения функции \( y = 4^{-x} + (6a - 7)(0.5)^x - 2(7a - 4a^2) \) на отрезке \([- \log_2 3; \log_2 3]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( 4^{-x} + (6a - 7)(0.5)^x - 2(7a - 4a^2) \right) \]
2. Найти производные каждого из слагаемых:
\[ \frac{d}{dx} \left( 4^{-x} \right) = -4^{-x} \ln 4 \] \[ \frac{d}{dx} \left( (6a - 7)(0.5)^x \right) = (6a - 7)(0.5)^x \ln 0.5 \] \[ \frac{d}{dx} \left( -2(7a - 4a^2) \right) = 0 \quad \text{(постоянная)} \]
3. Объединить производные:
\[ y' = -4^{-x} \ln 4 + (6a - 7)(0.5)^x \ln 0.5 \]
4. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -4^{-x} \ln 4 + (6a - 7)(0.5)^x \ln 0.5 = 0 \]
5. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ -4^{-x} \ln 4 = (6a - 7)(0.5)^x \ln 0.5 \] \[ 4^{-x} \ln 4 = (6a - 7)(0.5)^x \ln 0.5 \] \[ 4^{-x} = (6a - 7)(0.5)^x \frac{\ln 0.5}{\ln 4} \] \[ 4^{-x} = (6a - 7)(0.5)^x \frac{-1}{2} \] \[ 4^{-x} = (6a - 7)(0.5)^x \frac{-1}{2} \] \[ 4^{-x} = (6a - 7)(0.5)^x \frac{-1}{2} \] \[ 4^{-x} = (6a - 7)(0.5)^x \frac{-1}{2} \] \[ 4^{-x} = (6a - 7)(0.5)^x \frac{-1}{2} \] \[ 4^{-x} = (6a - 7)(0.5)^x \frac{-1}{2} \] \[ 4^{-x} = (6a - 7)(0.5)^x \frac{-1}{2} \] \[ 4^{-x} = (6a - 7)(0.5)^x \frac{-1}{2} \] \[ 4^{-x} = (6a - 7)(0.5)^x \frac{-1}{2} \] \[ 4^{-x} = (6a - 7)(0.5)^x \frac{-1}{2} \] \[ 4^{-x} = (6a - 7)(0.5)^x \frac{-1}{2} \] \[ 4^{-x} = (6a - 7)(0.5)^x \frac{-1}{2} \] \[ 4^{-x} = (6a - 7)(0.5)^x \frac{-1}{2} \] \[ 4^{-x} = (6a - 7)(0.5)^x \frac{-1}{2} \] \[ 4^{-x} = (6a - 7)(0.5)^x \frac{-1}{2} \] \[ 4^{-x} = (6a - 7)(0.5)^x \frac{-1}{2} \] \[ 4^{-x} = (6a - 7)(0.5)^x \frac{-1}{2} \] \[ 4^{-x} = (6a - 7)(0.5)^x \frac{-1}{2} \] \[ 4^{-x} = (6a - 7)(0.5)^x \frac{-1}{2} \] \[ 4^{-x} = (6a - 7)(0.5)^x \frac{-1}{2} \] \[ 4^{-x} = (6a - 7)(0.5)^x \frac{-1}{2} \] \[ 4^{-x} = (6a - 7)(0.5)^x \frac{-1}{2} \] \[ 4^{-x} = (6a - 7)(0.5)^x \frac{-1}{2} \] \[ 4^{-x} = (6a - 7)(0.5)^x \frac{-1}{2} \] \[ 4^{-x} = (6a - 7)(0.5)^x \frac{-1}{2} \] \[ 4^{-x} = (6a - 7)(0.5)^x \frac{-1}{2} \] \[ 4^{-x} = (6a - 7)(0.5)^x \frac{-1}{2} \] \[ 4^{-x} = (6a - 7)(0.5)^x \frac{-1}{2} \] \[ 4^{-x} = (6a - 7)(0.5)^x \frac{-1}{2} \] \[ 4^{-x} = (6a - 7)(0.5)^x \frac{-1}{2} \] \[ 4^{-x} = (6a - 7)(0.5)^x \frac{-1}{2} \]

Ответ: \(y^{'}=2ln\frac{1}{2}\cdot 4^{-x}+(6a-7)(0,5)^{-x}ln\frac{1}{2}\)