Экзамены с этой задачей: Исследование показательных и логарифмических функций

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найти наименьшее значение функции на отрезке\(y=xln5-xlnx\) на отрезке \(\left [ \frac{5}{3};\frac{5}{2} \right ]\)

Ответ

2,5ln2

Решение № 13579:

Для нахождения наименьшего значения функции \( y = x \ln 5 - x \ln x \) на отрезке \(\left[ \frac{5}{3}; \frac{5}{2} \right]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(x \ln 5 - x \ln x) \] \[ y' = \ln 5 - (\ln x + x \cdot \frac{1}{x}) \] \[ y' = \ln 5 - \ln x - 1 \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ \ln 5 - \ln x - 1 = 0 \] \[ \ln 5 - \ln x = 1 \] \[ \ln \frac{5}{x} = 1 \] \[ \frac{5}{x} = e \] \[ x = \frac{5}{e} \] <li> Проверить, попадает ли критическая точка в отрезок \(\left[ \frac{5}{3}; \frac{5}{2} \right]\): </li> \[ \frac{5}{e} \approx 1.839 \quad \text{(не попадает в отрезок \(\left[ \frac{5}{3}; \frac{5}{2} \right]\))} \] <li> Вычислить значения функции \( y \) на концах отрезка: </li> \[ y\left( \frac{5}{3} \right) = \frac{5}{3} \ln 5 - \frac{5}{3} \ln \left( \frac{5}{3} \right) \] \[ y\left( \frac{5}{2} \right) = \frac{5}{2} \ln 5 - \frac{5}{2} \ln \left( \frac{5}{2} \right) \] <li> Вычислим значения: </li> \[ y\left( \frac{5}{3} \right) = \frac{5}{3} \ln 5 - \frac{5}{3} \left( \ln 5 - \ln 3 \right) \] \[ y\left( \frac{5}{3} \right) = \frac{5}{3} \ln 5 - \frac{5}{3} \ln 5 + \frac{5}{3} \ln 3 \] \[ y\left( \frac{5}{3} \right) = \frac{5}{3} \ln 3 \] \[ y\left( \frac{5}{2} \right) = \frac{5}{2} \ln 5 - \frac{5}{2} \left( \ln 5 - \ln 2 \right) \] \[ y\left( \frac{5}{2} \right) = \frac{5}{2} \ln 5 - \frac{5}{2} \ln 5 + \frac{5}{2} \ln 2 \] \[ y\left( \frac{5}{2} \right) = \frac{5}{2} \ln 2 \] <li> Сравнить полученные значения и определить наименьшее значение функции на отрезке: </li> \[ \frac{5}{3} \ln 3 \quad \text{и} \quad \frac{5}{2} \ln 2 \] \[ \ln 3 \approx 1.0986 \quad \text{и} \quad \ln 2 \approx 0.6931 \] \[ \frac{5}{3} \ln 3 \approx 1.831 \quad \text{и} \quad \frac{5}{2} \ln 2 \approx 1.7328 \] \[ \text{Наименьшее значение:} \quad y\left( \frac{5}{2} \right) = \frac{5}{2} \ln 2 \] </ol> Ответ: <br> Наименьшее значение: \( \frac{5}{2} \ln 2 \)