Экзамены с этой задачей: Исследование показательных и логарифмических функций

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найти наименьшее значение функции на отрезке\(y=\frac{1}{ln2}(2^{x}+2^{-x})\) на отрезке \([-1;2]\)

Ответ

\underset{[-1;2]}{max} y(x)=\frac{17}{4ln2}; \underset{[-1;2]}{min} y(x)=\frac{2}{ln2}

Решение № 13580:

Для нахождения наименьшего значения функции \( y = \frac{1}{\ln 2}(2^x + 2^{-x}) \) на отрезке \([-1; 2]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\ln 2}(2^x + 2^{-x})\right) \] Применяем правило производной суммы и производной составной функции: \[ y' = \frac{1}{\ln 2} \left( \frac{d}{dx}(2^x) + \frac{d}{dx}(2^{-x}) \right) \] \[ y' = \frac{1}{\ln 2} \left( 2^x \ln 2 + 2^{-x} (-\ln 2) \right) \] \[ y' = \frac{1}{\ln 2} \left( 2^x \ln 2 - 2^{-x} \ln 2 \right) \] \[ y' = 2^x - 2^{-x} \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ 2^x - 2^{-x} = 0 \] \[ 2^x = 2^{-x} \] \[ 2^{2x} = 1 \] \[ 2x = 0 \] \[ x = 0 \] <li> Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([-1; 2]\): </li> Критическая точка \( x = 0 \) попадает в отрезок \([-1; 2]\). <li> Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: </li> \[ y(-1) = \frac{1}{\ln 2}(2^{-1} + 2^1) = \frac{1}{\ln 2}\left(\frac{1}{2} + 2\right) = \frac{1}{\ln 2} \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{2 \ln 2} \] \[ y(0) = \frac{1}{\ln 2}(2^0 + 2^0) = \frac{1}{\ln 2}(1 + 1) = \frac{2}{\ln 2} \] \[ y(2) = \frac{1}{\ln 2}(2^2 + 2^{-2}) = \frac{1}{\ln 2}\left(4 + \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{\ln 2} \cdot \frac{17}{4} = \frac{17}{4 \ln 2} \] <li> Сравнить полученные значения и определить наименьшее значение функции на отрезке: </li> \[ y(-1) = \frac{5}{2 \ln 2} \] \[ y(0) = \frac{2}{\ln 2} \] \[ y(2) = \frac{17}{4 \ln 2} \] Сравнивая эти значения, видим, что наименьшее значение \( y \) достигается в точке \( x = 0 \): \[ y(0) = \frac{2}{\ln 2} \] </ol> Ответ: <br> Наименьшее значение: \( \frac{2}{\ln 2} \)