Экзамены с этой задачей: Исследование показательных и логарифмических функций

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найти наибольшее функции на отрезке\(y=2\cdot 3^{3x}-4\cdot 2^{2x}+2\cdot 3^{x}\) на отрезке \([-1;1]\)

Ответ

24

Решение № 13594:

Для нахождения наибольшего значения функции \( y = 2 \cdot 3^{3x} - 4 \cdot 2^{2x} + 2 \cdot 3^x \) на отрезке \([-1; 1]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx} \left( 2 \cdot 3^{3x} - 4 \cdot 2^{2x} + 2 \cdot 3^x \right) \] <li> Вычислим производную каждого слагаемого отдельно: </li> \[ \frac{d}{dx} \left( 2 \cdot 3^{3x} \right) = 2 \cdot 3^{3x} \cdot \ln(3) \cdot 3 = 6 \cdot 3^{3x} \cdot \ln(3) \] \[ \frac{d}{dx} \left( -4 \cdot 2^{2x} \right) = -4 \cdot 2^{2x} \cdot \ln(2) \cdot 2 = -8 \cdot 2^{2x} \cdot \ln(2) \] \[ \frac{d}{dx} \left( 2 \cdot 3^x \right) = 2 \cdot 3^x \cdot \ln(3) \] <li> Составим производную функции \( y \): </li> \[ y' = 6 \cdot 3^{3x} \cdot \ln(3) - 8 \cdot 2^{2x} \cdot \ln(2) + 2 \cdot 3^x \cdot \ln(3) \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ 6 \cdot 3^{3x} \cdot \ln(3) - 8 \cdot 2^{2x} \cdot \ln(2) + 2 \cdot 3^x \cdot \ln(3) = 0 \] <li> Это уравнение сложно решить аналитически, поэтому мы можем использовать численные методы или графический анализ для нахождения критических точек. </li> <li> Проверить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: </li> \[ y(-1) = 2 \cdot 3^{3(-1)} - 4 \cdot 2^{2(-1)} + 2 \cdot 3^{-1} = 2 \cdot 3^{-3} - 4 \cdot 2^{-2} + 2 \cdot 3^{-1} = \frac{2}{27} - \frac{4}{4} + \frac{2}{3} = \frac{2}{27} - 1 + \frac{2}{3} \] \[ y(1) = 2 \cdot 3^{3(1)} - 4 \cdot 2^{2(1)} + 2 \cdot 3^1 = 2 \cdot 3^3 - 4 \cdot 2^2 + 2 \cdot 3 = 2 \cdot 27 - 4 \cdot 4 + 2 \cdot 3 = 54 - 16 + 6 = 44 \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке: </li> \[ y(-1) = \frac{2}{27} - 1 + \frac{2}{3} \approx -0.59 \] \[ y(1) = 44 \] <li> Наибольшее значение на отрезке \([-1; 1]\) является \( y(1) = 44 \). </li> </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 44 \)