Экзамены с этой задачей: Исследование степенных и иррациональных функций

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите те значения аргумента, при которых заданная функция достигает наибольшего значения: \(y=\sqrt{x-5}+\sqrt{9-x}\).

Ответ

7

Решение № 43700:

Для нахождения значений аргумента, при которых функция \( y = \sqrt{x-5} + \sqrt{9-x} \) достигает наибольшего значения, необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Определить область допустимых значений (ОДЗ) для функции \( y \): </li> \[ \sqrt{x-5} \geq 0 \quad \text{и} \quad \sqrt{9-x} \geq 0 \] \[ x - 5 \geq 0 \quad \text{и} \quad 9 - x \geq 0 \] \[ x \geq 5 \quad \text{и} \quad x \leq 9 \] Таким образом, ОДЗ: \[ 5 \leq x \leq 9 \] </li> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y = \sqrt{x-5} + \sqrt{9-x} \] \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x-5} \right) + \frac{d}{dx} \left( \sqrt{9-x} \right) \] \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{x-5}} - \frac{1}{2\sqrt{9-x}} \] </li> <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ \frac{1}{2\sqrt{x-5}} - \frac{1}{2\sqrt{9-x}} = 0 \] \[ \frac{1}{2\sqrt{x-5}} = \frac{1}{2\sqrt{9-x}} \] \[ \sqrt{x-5} = \sqrt{9-x} \] \[ x - 5 = 9 - x \] \[ 2x = 14 \] \[ x = 7 \] </li> <li> Проверить, какие из критических точек попадают в ОДЗ: </li> \[ x = 7 \quad \text{попадает в ОДЗ} \quad [5, 9] \] </li> <li> Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: \[ y(5) = \sqrt{5-5} + \sqrt{9-5} = 0 + 2 = 2 \] \[ y(7) = \sqrt{7-5} + \sqrt{9-7} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \] \[ y(9) = \sqrt{9-5} + \sqrt{9-9} = 2 + 0 = 2 \] </li> <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке: \[ y(5) = 2 \] \[ y(7) = 2\sqrt{2} \] \[ y(9) = 2 \] Наибольшее значение: \( y(7) = 2\sqrt{2} \) </li> </ol> Ответ: <br> Значение аргумента, при котором функция достигает наибольшего значения: \( x = 7 \) <br> Наибольшее значение функции: \( 2\sqrt{2} \)