Экзамены с этой задачей: Исследование степенных и иррациональных функций

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции: \(y=\sqrt{(5-x)(3x+6)}\).

Ответ

\(y_{наиб}=3,5\sqrt{3}\),\(y_{наим}=0\).

Решение № 43711:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \sqrt{(5-x)(3x+6)} \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Определить область допустимых значений (ОДЗ) функции \( y \). Функция \( y \) определена, если выражение под корнем неотрицательно: </li> \[ (5-x)(3x+6) \geq 0 \] <li> Найти корни уравнения \( (5-x)(3x+6) = 0 \): </li> \[ 5 - x = 0 \implies x = 5 \] \[ 3x + 6 = 0 \implies x = -2 \] <li> Определить интервалы, на которых выражение \( (5-x)(3x+6) \) неотрицательно. Для этого построим таблицу знаков: </li> \[ \begin{array}{c|c|c|c} x & 5-x & 3x+6 & (5-x)(3x+6) \\ \hline x < -2 & + & - & - \\ -2 < x < 5 & + & + & + \\ x > 5 & - & + & - \\ \end{array} \] <li> Из таблицы знаков видно, что выражение \( (5-x)(3x+6) \) неотрицательно на интервале \([-2; 5]\). </li> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{(5-x)(3x+6)} \right) \] Используем правило дифференцирования сложной функции: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{(5-x)(3x+6)}} \cdot \frac{d}{dx} \left( (5-x)(3x+6) \right) \] \[ = \frac{1}{2\sqrt{(5-x)(3x+6)}} \cdot \left( (5-x) \cdot 3 + (3x+6) \cdot (-1) \right) \] \[ = \frac{1}{2\sqrt{(5-x)(3x+6)}} \cdot (15 - 3x - 3x - 6) \] \[ = \frac{1}{2\sqrt{(5-x)(3x+6)}} \cdot (9 - 6x) \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ \frac{9 - 6x}{2\sqrt{(5-x)(3x+6)}} = 0 \] \[ 9 - 6x = 0 \] \[ x = \frac{9}{6} = 1.5 \] <li> Проверить, какие из критических точек попадают в ОДЗ \([-2; 5]\): </li> Критическая точка \( x = 1.5 \) попадает в ОДЗ. <li> Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: </li> \[ y(-2) = \sqrt{(5-(-2))(3(-2)+6)} = \sqrt{(7)(0)} = 0 \] \[ y(1.5) = \sqrt{(5-1.5)(3(1.5)+6)} = \sqrt{(3.5)(4.5+6)} = \sqrt{(3.5)(10.5)} = \sqrt{36.75} \approx 6.06 \] \[ y(5) = \sqrt{(5-5)(3(5)+6)} = \sqrt{(0)(21)} = 0 \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: </li> Наибольшее значение: \( y(1.5) \approx 6.06 \) <br> Наименьшее значение: \( y(-2) = 0 \) и \( y(5) = 0 \) </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( \approx 6.06 \) <br> Наименьшее значение: \( 0 \)