Экзамены с этой задачей: Исследование степенных и иррациональных функций

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите те значения аргумента, при которых заданная функция достигает наибольшего значения: \(y=\sqrt{10-2x}+\sqrt{3x}\).

Ответ

3

Решение № 43702:

Для нахождения значений аргумента, при которых функция \( y = \sqrt{10 - 2x} + \sqrt{3x} \) достигает наибольшего значения, необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{10 - 2x} + \sqrt{3x} \right) \] \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{10 - 2x} \right) + \frac{d}{dx} \left( \sqrt{3x} \right) \] \[ y' = \frac{1}{2 \sqrt{10 - 2x}} \cdot (-2) + \frac{1}{2 \sqrt{3x}} \cdot 3 \] \[ y' = \frac{-1}{\sqrt{10 - 2x}} + \frac{3}{2 \sqrt{3x}} \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ \frac{-1}{\sqrt{10 - 2x}} + \frac{3}{2 \sqrt{3x}} = 0 \] \[ \frac{-1}{\sqrt{10 - 2x}} = -\frac{3}{2 \sqrt{3x}} \] \[ \frac{1}{\sqrt{10 - 2x}} = \frac{3}{2 \sqrt{3x}} \] <li> Квадратировать обе части уравнения для устранения корней: </li> \[ \left( \frac{1}{\sqrt{10 - 2x}} \right)^2 = \left( \frac{3}{2 \sqrt{3x}} \right)^2 \] \[ \frac{1}{10 - 2x} = \frac{9}{12x} \] \[ \frac{1}{10 - 2x} = \frac{3}{4x} \] <li> Решить уравнение относительно \( x \): </li> \[ 4x = 3(10 - 2x) \] \[ 4x = 30 - 6x \] \[ 10x = 30 \] \[ x = 3 \] <li> Проверить, какие из критических точек попадают в область допустимых значений: </li> \[ 10 - 2x \geq 0 \quad \text{и} \quad 3x \geq 0 \] \[ 10 - 2 \cdot 3 = 4 \geq 0 \quad \text{и} \quad 3 \cdot 3 = 9 \geq 0 \] Критическая точка \( x = 3 \) попадает в область допустимых значений. <li> Вычислить значение функции \( y \) в критической точке: </li> \[ y(3) = \sqrt{10 - 2 \cdot 3} + \sqrt{3 \cdot 3} \] \[ y(3) = \sqrt{4} + \sqrt{9} \] \[ y(3) = 2 + 3 \] \[ y(3) = 5 \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции: </li> Наибольшее значение функции \( y \) при \( x = 3 \) равно 5. </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение функции \( y \) достигается при \( x = 3 \) и равно 5.