Экзамены с этой задачей: Исследование степенных и иррациональных функций

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите те значения аргумента, при которых заданная функция достигает наибольшего значения: \(y=\sqrt{(2x-6)(7-x)}\).

Ответ

5

Решение № 43698:

Для нахождения значений аргумента, при которых функция \( y = \sqrt{(2x-6)(7-x)} \) достигает наибольшего значения, необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти область допустимых значений (ОДЗ) функции \( y \): </li> \[ (2x-6)(7-x) \geq 0 \] Решим неравенство: \[ 2x - 6 \geq 0 \quad \text{и} \quad 7 - x \geq 0 \] \[ x \geq 3 \quad \text{и} \quad x \leq 7 \] Таким образом, ОДЗ: \[ 3 \leq x \leq 7 \] <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y = \sqrt{(2x-6)(7-x)} \] \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{(2x-6)(7-x)} \right) \] Используем правило производной сложной функции: \[ y' = \frac{1}{2 \sqrt{(2x-6)(7-x)}} \cdot \frac{d}{dx} \left( (2x-6)(7-x) \right) \] Найдем производную подкоренного выражения: \[ \frac{d}{dx} \left( (2x-6)(7-x) \right) = (2x-6)' (7-x) + (2x-6) (7-x)' \] \[ = 2(7-x) + (2x-6)(-1) \] \[ = 14 - 2x - 2x + 6 \] \[ = 20 - 4x \] Таким образом: \[ y' = \frac{1}{2 \sqrt{(2x-6)(7-x)}} \cdot (20 - 4x) \] \[ y' = \frac{20 - 4x}{2 \sqrt{(2x-6)(7-x)}} \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ \frac{20 - 4x}{2 \sqrt{(2x-6)(7-x)}} = 0 \] \[ 20 - 4x = 0 \] \[ 4x = 20 \] \[ x = 5 \] <li> Проверить, какие из критических точек попадают в ОДЗ: </li> Критическая точка \( x = 5 \) попадает в ОДЗ \( 3 \leq x \leq 7 \). <li> Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: </li> \[ y(3) = \sqrt{(2 \cdot 3 - 6)(7 - 3)} = \sqrt{(6 - 6)(4)} = \sqrt{0} = 0 \] \[ y(5) = \sqrt{(2 \cdot 5 - 6)(7 - 5)} = \sqrt{(10 - 6)(2)} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] \[ y(7) = \sqrt{(2 \cdot 7 - 6)(7 - 7)} = \sqrt{(14 - 6)(0)} = \sqrt{0} = 0 \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке: </li> Наибольшее значение: \( y(5) = 2\sqrt{2} \) </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение функции достигается при \( x = 5 \) и равно \( 2\sqrt{2} \).