Экзамены с этой задачей: Исследование степенных и иррациональных функций

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите те значения аргумента, при которых заданная функция достигает наибольшего значения: \(y=\sqrt{(x+2)(4-x)}\).

Ответ

1

Решение № 43697:

Для нахождения значений аргумента, при которых функция \( y = \sqrt{(x+2)(4-x)} \) достигает наибольшего значения, необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти область допустимых значений (ОДЗ) функции \( y \): </li> \[ (x+2)(4-x) \geq 0 \] Это неравенство выполняется, когда: \[ -2 \leq x \leq 4 \] <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y = \sqrt{(x+2)(4-x)} \] Воспользуемся правилом производной сложной функции: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{(x+2)(4-x)}} \cdot \left( (x+2)(4-x) \right)' \] Найдем производную внутренней функции: \[ \left( (x+2)(4-x) \right)' = (x+2)' \cdot (4-x) + (x+2) \cdot (4-x)' \] \[ = 1 \cdot (4-x) + (x+2) \cdot (-1) \] \[ = 4 - x - x - 2 = 2 - 2x \] Таким образом, производная функции \( y \): \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{(x+2)(4-x)}} \cdot (2 - 2x) \] \[ y' = \frac{1 - x}{\sqrt{(x+2)(4-x)}} \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ \frac{1 - x}{\sqrt{(x+2)(4-x)}} = 0 \] Это уравнение выполняется, когда: \[ 1 - x = 0 \implies x = 1 \] <li> Проверить, какие из критических точек попадают в ОДЗ: </li> Критическая точка \( x = 1 \) попадает в ОДЗ \([-2; 4]\). <li> Вычислить значение функции \( y \) в критической точке: </li> \[ y(1) = \sqrt{(1+2)(4-1)} = \sqrt{3 \cdot 3} = \sqrt{9} = 3 \] <li> Проверить значения функции на концах отрезка ОДЗ: </li> \[ y(-2) = \sqrt{(-2+2)(4+2)} = \sqrt{0} = 0 \] \[ y(4) = \sqrt{(4+2)(4-4)} = \sqrt{0} = 0 \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке: </li> Наибольшее значение: \( y(1) = 3 \) </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение функции \( y = \sqrt{(x+2)(4-x)} \) достигается при \( x = 1 \) и равно \( 3 \).