Экзамены с этой задачей: Исследование степенных и иррациональных функций

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите те значения аргумента, при которых заданная функция достигает наибольшего значения: \(y=\sqrt{8-3x}+\sqrt{x}\).

Ответ

\(frac{2}{3}\).

Решение № 43703:

Для нахождения значений аргумента, при которых функция \( y = \sqrt{8 - 3x} + \sqrt{x} \) достигает наибольшего значения, необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Определить область допустимых значений (ОДЗ) функции \( y \): </li> \[ \text{ОДЗ: } \begin{cases} 8 - 3x \geq 0 \\ x \geq 0 \end{cases} \] <li> Решить систему неравенств: </li> \[ 8 - 3x \geq 0 \implies x \leq \frac{8}{3} \] \[ x \geq 0 \] \[ \text{Таким образом, ОДЗ: } 0 \leq x \leq \frac{8}{3} \] </li> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y = \sqrt{8 - 3x} + \sqrt{x} \] \[ y' = \frac{d}{dx}(\sqrt{8 - 3x}) + \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) \] \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{8 - 3x}} \cdot (-3) + \frac{1}{2\sqrt{x}} \] \[ y' = -\frac{3}{2\sqrt{8 - 3x}} + \frac{1}{2\sqrt{x}} \] </li> <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ -\frac{3}{2\sqrt{8 - 3x}} + \frac{1}{2\sqrt{x}} = 0 \] \[ \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{3}{2\sqrt{8 - 3x}} \] \[ \sqrt{x} = \sqrt{8 - 3x} \] \[ x = 8 - 3x \] \[ 4x = 8 \] \[ x = 2 \] </li> <li> Проверить, попадает ли критическая точка в ОДЗ: </li> \[ x = 2 \text{ попадает в ОДЗ } 0 \leq x \leq \frac{8}{3} \] </li> <li> Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: </li> \[ y(0) = \sqrt{8 - 3 \cdot 0} + \sqrt{0} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] \[ y\left(\frac{8}{3}\right) = \sqrt{8 - 3 \cdot \frac{8}{3}} + \sqrt{\frac{8}{3}} = \sqrt{0} + \sqrt{\frac{8}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}} \] \[ y(2) = \sqrt{8 - 3 \cdot 2} + \sqrt{2} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \] </li> <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке: </li> \[ \text{Наибольшее значение: } y(0) = y(2) = 2\sqrt{2} \] </li> </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение функции \( y = \sqrt{8 - 3x} + \sqrt{x} \) достигается при \( x = 0 \) и \( x = 2 \), и оно равно \( 2\sqrt{2} \).