Экзамены с этой задачей: Исследование степенных и иррациональных функций

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найти наибольшее функции на отрезке\(y=\sqrt{x^{2}-x-2}\) на отрезке \([3;5]\)

Ответ

\underset{[3;5]}{max} y(x)=3\sqrt{2}; \underset{[3;5]}{min} y(x)=2

Решение № 13589:

Для нахождения наибольшего значения функции \( y = \sqrt{x^2 - x - 2} \) на отрезке \([3; 5]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x^2 - x - 2} \right) \] Используем правило дифференцирования корня: \[ y' = \frac{1}{2 \sqrt{x^2 - x - 2}} \cdot (2x - 1) \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ \frac{1}{2 \sqrt{x^2 - x - 2}} \cdot (2x - 1) = 0 \] Это уравнение будет равно нулю, если \( 2x - 1 = 0 \): \[ 2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2} \] Однако, \( x = \frac{1}{2} \) не принадлежит отрезку \([3; 5]\), поэтому критических точек внутри отрезка нет. <li> Вычислить значения функции \( y \) на концах отрезка: </li> \[ y(3) = \sqrt{3^2 - 3 - 2} = \sqrt{9 - 3 - 2} = \sqrt{4} = 2 \] \[ y(5) = \sqrt{5^2 - 5 - 2} = \sqrt{25 - 5 - 2} = \sqrt{18} \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке: </li> \[ y(3) = 2 \] \[ y(5) = \sqrt{18} \] Поскольку \( \sqrt{18} > 2 \), наибольшее значение функции на отрезке \([3; 5]\) достигается в точке \( x = 5 \). </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( \sqrt{18} \)