№7301

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти наибольшее функции на отрезке\(y=-x^{2}+3|x-2|+2\) на отрезке \([-2;2]\)

Ответ

7.25

Решение № 7301:

Для нахождения наибольшего значения функции \( y = -x^2 + 3|x-2| + 2 \) на отрезке \([-2; 2]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Разделить функцию на два случая в зависимости от значения \( x \): </li> \[ y = \begin{cases} -x^2 + 3(x-2) + 2 & \text{если } x \geq 2 \\ -x^2 + 3(2-x) + 2 & \text{если } x < 2 \end{cases} \] <li> Рассмотрим случай \( x < 2 \): </li> \[ y = -x^2 + 3(2-x) + 2 = -x^2 + 6 - 3x + 2 = -x^2 - 3x + 8 \] <li> Найти производную функции \( y \) для \( x < 2 \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(-x^2 - 3x + 8) = -2x - 3 \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ -2x - 3 = 0 \implies -2x = 3 \implies x = -\frac{3}{2} \] <li> Проверить, попадает ли критическая точка в отрезок \([-2; 2]\): </li> \[ x = -\frac{3}{2} \text{ попадает в отрезок } [-2; 2] \] <li> Вычислить значение функции \( y \) в критической точке: </li> \[ y\left(-\frac{3}{2}\right) = -\left(-\frac{3}{2}\right)^2 - 3\left(-\frac{3}{2}\right) + 8 = -\frac{9}{4} + \frac{9}{2} + 8 = -\frac{9}{4} + \frac{18}{4} + \frac{32}{4} = \frac{41}{4} \] <li> Вычислить значения функции \( y \) на концах отрезка: </li> \[ y(-2) = -(-2)^2 - 3(-2) + 8 = -4 + 6 + 8 = 10 \] \[ y(2) = -(2)^2 - 3(2) + 8 = -4 - 6 + 8 = -2 \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке: </li> \[ y(-2) = 10, \quad y\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{41}{4}, \quad y(2) = -2 \] Наибольшее значение: \( y(-2) = 10 \) </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 10 \)