№3427

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти наибольшее функции на отрезке\(y=4x^{3}-x|x-2|\) на отрезке \([0;3]\)

Ответ

105

Решение № 3427:

Для нахождения наибольшего значения функции \( y = 4x^3 - x|x - 2| \) на отрезке \([0; 3]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Разделить функцию на два случая в зависимости от значения \( |x - 2| \): </li> \[ y = \begin{cases} 4x^3 - x(x - 2) & \text{если } x \geq 2 \\ 4x^3 + x(x - 2) & \text{если } x < 2 \end{cases} \] <li> Рассмотрим случай \( x \geq 2 \): </li> \[ y = 4x^3 - x(x - 2) = 4x^3 - x^2 + 2x \] Найдем производную функции \( y \): \[ y' = \frac{d}{dx}(4x^3 - x^2 + 2x) = 12x^2 - 2x + 2 \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ 12x^2 - 2x + 2 = 0 \] Это уравнение не имеет реальных корней, так как дискриминант \( D = b^2 - 4ac \) отрицателен: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 2 = 4 - 96 = -92 \] Следовательно, на этом интервале нет критических точек. <li> Рассмотрим случай \( x < 2 \): </li> \[ y = 4x^3 + x(x - 2) = 4x^3 + x^2 - 2x \] Найдем производную функции \( y \): \[ y' = \frac{d}{dx}(4x^3 + x^2 - 2x) = 12x^2 + 2x - 2 \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ 12x^2 + 2x - 2 = 0 \] Решим это квадратное уравнение: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-2)}}{2 \cdot 12} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 96}}{24} = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{24} = \frac{-2 \pm 10}{24} \] Получаем два корня: \[ x_1 = \frac{-2 + 10}{24} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3} \] \[ x_2 = \frac{-2 - 10}{24} = \frac{-12}{24} = -\frac{1}{2} \] Критическая точка \( x = -\frac{1}{2} \) не попадает в отрезок \([0; 3]\), а точка \( x = \frac{1}{3} \) попадает. <li> Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: </li> \[ y(0) = 4(0)^3 + (0)^2 - 2(0) = 0 \] \[ y(3) = 4(3)^3 - 3(3 - 2) = 4 \cdot 27 - 3 = 108 - 3 = 105 \] \[ y\left(\frac{1}{3}\right) = 4\left(\frac{1}{3}\right)^3 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{3}\right) = 4 \cdot \frac{1}{27} + \frac{1}{9} - \frac{2}{3} = \frac{4}{27} + \frac{3}{27} - \frac{18}{27} = \frac{7}{27} - \frac{18}{27} = -\frac{11}{27} \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке: </li> Наибольшее значение: \( y(3) = 105 \) </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 105 \)