№7286

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти наименьшее значение функции на отрезке\(y=-x^{2}+7|x|-12\) на отрезке \([-4;3]\)

Ответ

-12

Решение № 7286:

Для нахождения наименьшего значения функции \( y = -x^2 + 7|x| - 12 \) на отрезке \([-4; 3]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Разделить функцию на два случая в зависимости от значения \( x \): </li> \[ y = \begin{cases} -x^2 - 7x - 12 & \text{если } x \leq 0 \\ -x^2 + 7x - 12 & \text{если } x > 0 \end{cases} \] <li> Найти производные для каждого случая: </li> \[ y' = \begin{cases} -2x - 7 & \text{если } x \leq 0 \\ -2x + 7 & \text{если } x > 0 \end{cases} \] <li> Найти критические точки, решив уравнения \( y' = 0 \) для каждого случая: </li> \[ \text{Для } x \leq 0: \quad -2x - 7 = 0 \implies x = -\frac{7}{2} \] \[ \text{Для } x > 0: \quad -2x + 7 = 0 \implies x = \frac{7}{2} \] <li> Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([-4; 3]\): </li> \[ x = -\frac{7}{2} \approx -3.5 \quad \text{(попадает в отрезок)} \] \[ x = \frac{7}{2} \approx 3.5 \quad \text{(не попадает в отрезок)} \] <li> Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: </li> \[ y(-4) = -(-4)^2 - 7(-4) - 12 = -16 + 28 - 12 = 0 \] \[ y(-3.5) = -(-3.5)^2 - 7(-3.5) - 12 = -12.25 + 24.5 - 12 = 0.25 \] \[ y(3) = -(3)^2 + 7(3) - 12 = -9 + 21 - 12 = 0 \] <li> Сравнить полученные значения и определить наименьшее значение функции на отрезке: </li> \[ \text{Значения: } y(-4) = 0, \quad y(-3.5) = 0.25, \quad y(3) = 0 \] Наименьшее значение: \( y(-4) = 0 \) </ol> Ответ: <br> Наименьшее значение: \( 0 \)