№13247

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Уравнения касательной и нормали,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти уравнение параболы \(y=ax^{2}+bx+2\), касающейся прямой \(y=7x+3\) в точке \(M (1;6)\)

Ответ

NaN

Решение № 13245:

Для нахождения уравнения параболы \( y = ax^2 + bx + 2 \), касающейся прямой \( y = 7x + 3 \) в точке \( M(1; 6) \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Записать условие касания параболы и прямой в точке \( M(1; 6) \). Это означает, что в этой точке значения функций совпадают, а также их производные равны. </li> <li> Подставить координаты точки \( M(1; 6) \) в уравнение параболы: \[ 6 = a(1)^2 + b(1) + 2 \] </li> <li> Упростить уравнение: \[ 6 = a + b + 2 \] </li> <li> Решить уравнение относительно \( a \) и \( b \): \[ a + b = 4 \] </li> <li> Найти производную функции параболы: \[ \frac{dy}{dx} = 2ax + b \] </li> <li> Найти производную функции прямой: \[ \frac{dy}{dx} = 7 \] </li> <li> Подставить координаты точки \( M(1; 6) \) в производные функций: \[ 2a(1) + b = 7 \] </li> <li> Упростить уравнение: \[ 2a + b = 7 \] </li> <li> Теперь у нас есть система уравнений: \[ \begin{cases} a + b = 4 \\ 2a + b = 7 \end{cases} \] </li> <li> Вычесть первое уравнение из второго: \[ (2a + b) - (a + b) = 7 - 4 \] </li> <li> Упростить уравнение: \[ a = 3 \] </li> <li> Подставить значение \( a \) в первое уравнение: \[ 3 + b = 4 \] </li> <li> Решить уравнение относительно \( b \): \[ b = 1 \] </li> <li> Подставить найденные значения \( a \) и \( b \) в уравнение параболы: \[ y = 3x^2 + x + 2 \] </li> </ol> Ответ: <br> Уравнение параболы: \( y = 3x^2 + x + 2 \)