Решение №3469: По формуле суммы первых n членов арифметической прогрессии \(1+3+...+\left ( 2n-1 \right )=\frac{1+\left ( 2n-1 \right )}{2}n=n^{2}\). Тогда \(x_{n}=\frac{n^{2}}{n^{2}+1}=1-\frac{1}{n^{2}+1}\). Последовательность \(\left \{ x_{n} \right \} \)ограничена снизу числом 0, а сверху числом 1.

Ответ: NaN

Решение №3472: Можно доказать с помощью метода математической индукции два утверждения: 1) \(\forall n\in N x_{n+1}> x_{n} и 2) \forall n\in N, n\geqslant 2 x_{n}< 3 \) База индукции очевидна. Переход индукциидоказывает цепочка соотношений \(x_{n+1}=\sqrt{3+x_{n}}> \sqrt{3+x_{n-1}}=x_{n}\), верная в силу свойств корней и индукционного предположения \(x_{n}> x_{n-1}\). 2) База индукции: \(x_{2}=\sqrt{7}< 3\). Переход индукции: В силу индукционного предположения \(x_{n}< 3\), а тогда \(x_{n+1}^{2}=3+x_{n}< 3+3=6\), и следовательно, \(x_{n+1}< 3\). Из первого и второго утверждения следует ограниченность последовательности\(\left \{ x_{n} \right \}.\)

Ответ: NaN

Решение №3478: Необязательно ограничена. Например, при \(x_{n}=\frac{1}{n} \) получаем последовательность \(y_{n}=-\log n\), которая является неограниченной.

Ответ: NaN

Решение №3488: При \(x\in \left ( 2k;2k+1 \right )\) убывает; при \(x\in \left ( 2k-1;2k \right \)) возрастает; при \(x\in Z\) является константой, поэтому может быть сочтена как нестрого возрастающей, так и нестрого убывающей. 1) Если \(\sin \pi x> 0\Leftrightarrow 2k< x< 1+2k, k\in Z.\) Тогда \(\forall n\in N x_{n}=\frac{\sin \pi x}{n}> \frac{\sin \pi x}{n+1}=x_{n+1}\), значит, последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) убывающая. 2) Если \(\sin \pi x< 0\Leftrightarrow 2k+1< x< 2+2k, k\in Z\). Тогда \(\forall n\in N x_{n}=\frac{\sin \pi x}{n}< \frac{\sin \pi x}{n+1}=x_{n+1}\), значит, последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) убывающая. 3) Если \(x\in Z, то x_{n}=0\)

Ответ: NaN

Решение №3494: \( \lim_{n \to \propto} \frac{n^{2}+1}{n^{2}}=1\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \exists N\varepsilon \in N:\forall n\geqslant N\varepsilon \left | \frac{n^{2}+1}{n^{2}} -1\right |< \varepsilon\) . Рассмотрим неравенство \(\left | \frac{n^{2}+1}{n^{2}} -1\right |< \varepsilon \Leftrightarrow \frac{1}{n^{2}}< \varepsilon \Leftrightarrow n> \frac{1}{\sqrt{\varepsilon }}\), т.е. в качестве \(N_{\varepsilon }\) можно взять \(N_{\varepsilon }=\left [ \frac{1}{\sqrt{\varepsilon }} \right ]+1 \)

Ответ: NaN

Решение №3498: Докажем, что \(\lim_{n \to \propto} \frac{1}{2n^{2}+5n}=0\). Рассмотрим неравенство \(\left | \frac{1}{2n^{2}+5n} \right |< \varepsilon \Leftrightarrow \frac{1}{2n^{2}+5n}< \varepsilon \Leftrightarrow 2n^{2}+5n> \frac{1}{\varepsilon}\). Так как \(2n^{2}+5n> 2n^{2}\), то решим неравенство \(2n^{2}> \frac{1}{\varepsilon }\), откуда \(n> \sqrt{\frac{1}{2\varepsilon }}\) и в качестве \(N_{\varepsilon } \) можно взять \(N_{\varepsilon }=\left [ \sqrt{\frac{1}{2\varepsilon }} \right ]+1. \)

Ответ: NaN

Решение №3499: 0

Ответ: 0

Решение №3502: 0. Действительно, так как при n> 8 выполнено \(0< \frac{7n+5}{n^{2}+1}< 1\), то при n> 8 будет выполняться \(x_{n}=0.\)

Ответ: 0

Решение №3509: Например поледовательность с общим членом \(x_{n}=1. \)

Ответ: Нет

Решение №3513: \( x_{n}=\frac{1}{2n+1}; y_{n}=n. \)

Ответ: NaN

Решение №3515: \( x_{n}=\frac{\left ( -1 \right )^{n}}{n}; y_{n}=n. \)

Ответ: NaN

Решение №3517: \( x_{n}=n-1; y_{n}=n+1\)

Ответ: NaN

Решение №3519: \( x_{n}=\left ( -1 \right )^{n}; y_{n}=n \)

Ответ: NaN

Решение №3528: Нет, например \(x_{n}=-n y_{n}=0\)

Ответ: NaN

Решение №3529: Нет, например \(x_{n}=\left ( -1 \right )^{n}n y_{n}=\left ( -1 \right )^{n+1}n. Тогда \lim_{n \to \propto} \left ( x_{n}+y_{n} \right )=0 \)

Ответ: NaN

Решение №3534: \(x_{n}=\frac{\left ( -1 \right )^{n}}{n}, y_{n}=\frac{1}{n} \)

Ответ: NaN

Решение №3536: Нет, например \(x_{n}=\left\{\begin{matrix}n, n=2k \\ \frac{1}{n^{2}}, n=2k-1 \end{matrix}\right. y_{n}=\left\{\begin{matrix}\frac{1}{n^{2}}, n=2k \\ n, n=2k-1 \end{matrix}\right.\) Тогда \(x_{n}y_{n}=\frac{1}{n}\)

Ответ: NaN

Решение №3537: \( x_{n}=\left ( -1 \right )^{n}, y_{n}=\left ( -1 \right )^{n}n\)

Ответ: NaN

Решение №3539: \( \lim_{n \to \propto} \frac{x_{n}}{y_{n}}*\lim n \to \propto y_{n}=\lim_{n \to \propto} \frac{x_{n}*y_{n}}{y_{n}}=\lim_{n \to \propto} x_{n} \)

Ответ: NaN

Решение №3540: \( x_{n}=n+1, y_{n}=-n \)

Ответ: NaN

Решение №3548: \(\frac{1}{3}; -1\)

Ответ: NaN

Решение №3552: \( \lim_{n \to \propto} \frac{3^{n}}{5+3^{n+1}}=\lim_{n \to \propto} \frac{1}{5\left ( \frac{1}{3} \right )^{n}+3}=\frac{1}{3} \)

Ответ: \frac{1}{3}

Решение №3553: 27

Ответ: 27

Решение №3554: \( -\frac{15}{2} \)

Ответ: -\frac{15}{2}

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 0

Решение №3568: \( \lim_{n \to \propto} \left ( \sqrt[3]{n^{3}+2n^{2}-n} \right )=\lim_{ n \to \propto} \frac{n^{3}+2n^{2}-n^{3}}{\sqrt[3]{\left ( n^{3}+2n^{2} \right )^{2}}+\sqrt[3]{n^{6}+2n^{5}}+n^{2}}=\lim_{n \to \propto} \frac{2n^{2}}{n^{2}\left ( \sqrt[3]{\left ( 1+\frac{2}{n} \right )^{2}}+\sqrt[3]{1+\frac{2}{n}}+1 \right )}=\frac{2}{3} \)

Ответ: \frac{2}{3}

Решение №3575: При n> 7 верно неравенство (доказываемое по индукции)\(2^{n-1}\leqslant 2^{n}-n^{2}< 2^{n}-n^{2}< 2^{n}\Leftrightarrow \sqrt[n]{2^{n-1}}\leqslant \sqrt[n]{2^{n}-n^{2}}< \sqrt[n]{2^{n}}, \lim_{n \to \propto} \sqrt[n]{2^{n-1}}=\lim_{n \to \propto}\sqrt[n]{2^{n}}=2. \)

Ответ: 2

Решение №3584: Найдем искомый предел из уравнения \(A^{k}=5A\) ( так как \(x_{n+1}^{k}=5x_{n}\)). Откуда A=0 или \(A=\sqrt[k-1]{5}\). Так как последовательность \(\left \{ x_{n} \right \} \) возрастает и \(x_{1}=\sqrt[k]{5}> 1,то A=\sqrt[k-1]{5}\). Докажем возрастание и ограниченность последовательности \(\left \{ x_{n} \right \}\) по индукции. Так как \(x_{n+1}< x_{n}\) по индукционному предположению , \(то x_{n}=\sqrt[k]{5x_{n-1}}< \sqrt[k]{5x_{n}}=x_{n+1}\). Кроме того, \(x_{n+1}=\sqrt[k]{5x_{n}}< \sqrt[k]{5A}=A. \)

Ответ: NaN

Решение №3589: \( x_{1}\leqslant x_{2}=f\left ( x_{1} \right ) \leqslant f\left ( x_{2} \right )=x_{3}\leqslant ...\leqslant x_{n}=f\left ( x_{n-1} \right )\leqslant f\left ( x_{n} \right )=x_{n+1} \) в силу возрастания функции f. Тогда последовательность \(\left \{ x_{n} \right \} \)- возрастающая (не строго).

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: Да