№3575

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Свойства бесконечно малых последовательностей, Бесконечно большие последовательности, Определение предела последовательности, Теоремы о пределах,

Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5

Условие

Найдите \(\lim_{n \to \propto} x_{n}\), воспользовавшись свойствами пределов, связанными с неравенствами и арифметическими действиями с пределами. \(x_{n}=\sqrt[n]{2^{n}-n^{2}} \)

Ответ

2

Решение № 3575:

При n> 7 верно неравенство (доказываемое по индукции)\(2^{n-1}\leqslant 2^{n}-n^{2}< 2^{n}-n^{2}< 2^{n}\Leftrightarrow \sqrt[n]{2^{n-1}}\leqslant \sqrt[n]{2^{n}-n^{2}}< \sqrt[n]{2^{n}}, \lim_{n \to \propto} \sqrt[n]{2^{n-1}}=\lim_{n \to \propto}\sqrt[n]{2^{n}}=2. \)