№3560

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Свойства бесконечно малых последовательностей, Бесконечно большие последовательности, Определение предела последовательности, Теоремы о пределах,

Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найдите \(\lim_{n \to \propto} x_{n}\), если \(x_{n}=\frac{\sqrt{n^{2}+1}-\sqrt{n^{2}-1}}{\sqrt{n^{2}+n}-n-1})

Ответ

0

Решение № 3560:

Для решения задачи нахождения \(\lim_{n \to \infty} x_{n}\), где \(x_{n}=\frac{\sqrt{n^{2}+1}-\sqrt{n^{2}-1}}{\sqrt{n^{2}+n}-n-1}\), выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем предел: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^{2}+1}-\sqrt{n^{2}-1}}{\sqrt{n^{2}+n}-n-1} \] </li> <li>Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{n^{2}+1}+\sqrt{n^{2}-1}\): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n^{2}+1}-\sqrt{n^{2}-1})(\sqrt{n^{2}+1}+\sqrt{n^{2}-1})}{(\sqrt{n^{2}+n}-n-1)(\sqrt{n^{2}+1}+\sqrt{n^{2}-1})} \] </li> <li>Упростим числитель, используя разность квадратов: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{(n^{2}+1)-(n^{2}-1)}{(\sqrt{n^{2}+n}-n-1)(\sqrt{n^{2}+1}+\sqrt{n^{2}-1})} \] </li> <li>Упростим числитель: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2}{(\sqrt{n^{2}+n}-n-1)(\sqrt{n^{2}+1}+\sqrt{n^{2}-1})} \] </li> <li>Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{n^{2}+n}+n+1\): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2(\sqrt{n^{2}+n}+n+1)}{(\sqrt{n^{2}+n}-n-1)(\sqrt{n^{2}+1}+\sqrt{n^{2}-1})(\sqrt{n^{2}+n}+n+1)} \] </li> <li>Упростим знаменатель, используя разность квадратов: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2(\sqrt{n^{2}+n}+n+1)}{(n^{2}+n-(n+1)^{2})(\sqrt{n^{2}+1}+\sqrt{n^{2}-1})} \] </li> <li>Упростим знаменатель: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2(\sqrt{n^{2}+n}+n+1)}{(n^{2}+n-(n^{2}+2n+1))(\sqrt{n^{2}+1}+\sqrt{n^{2}-1})} \] </li> <li>Упростим знаменатель дальше: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2(\sqrt{n^{2}+n}+n+1)}{(n^{2}+n-n^{2}-2n-1)(\sqrt{n^{2}+1}+\sqrt{n^{2}-1})} \] </li> <li>Упростим знаменатель: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2(\sqrt{n^{2}+n}+n+1)}{(-n-1)(\sqrt{n^{2}+1}+\sqrt{n^{2}-1})} \] </li> <li>Упростим знаменатель: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2(\sqrt{n^{2}+n}+n+1)}{-n(\sqrt{n^{2}+1}+\sqrt{n^{2}-1})} \] </li> <li>Разделим числитель и знаменатель на \(n\): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2\left(\frac{\sqrt{n^{2}+n}}{n}+\frac{n+1}{n}\right)}{-n\left(\frac{\sqrt{n^{2}+1}}{n}+\frac{\sqrt{n^{2}-1}}{n}\right)} \] </li> <li>Упростим: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1+\frac{1}{n}\right)}{-n\left(\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}+\sqrt{1-\frac{1}{n^{2}}}\right)} \] </li> <li>Упростим при \(n \to \infty\): \[ \frac{2(1+1)}{-1(1+1)} = \frac{4}{-2} = -2 \] </li> </ol> Таким образом, \(\lim_{n \to \infty} x_{n} = -2\). Ответ: -2