Задача №3595

№3595

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,

Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Дана последовательность \(\left \{ a_{n} \right \}\). Рассмотри последовательности \(x_{n}=a_{2n}, y_{n}=a_{2n-1}, z_{n}=a_{2n+4}, u_{n}=a_{3n} \) Верно ли утверждение, что последовательность \(\left \{ z_{n} \right \}\) сходится, то и последовательность\( \left \{ x_{n} \right \}\) сходится?

Ответ

Да

Решение № 3595:

Для решения задачи о сходимости последовательностей \(\left \{ x_{n} \right \}\) и \(\left \{ z_{n} \right \}\), рассмотрим следующие шаги: <ol> <li>Определим последовательности: \[ x_{n} = a_{2n}, \quad y_{n} = a_{2n-1}, \quad z_{n} = a_{2n+4}, \quad u_{n} = a_{3n} \] </li> <li>Предположим, что последовательность \(\left \{ z_{n} \right \}\) сходится к некоторому пределу \(L\): \[ \lim_{n \to \infty} z_{n} = \lim_{n \to \infty} a_{2n+4} = L \] </li> <li>Теперь рассмотрим последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\): \[ x_{n} = a_{2n} \] </li> <li>Чтобы проверить сходимость \(\left \{ x_{n} \right \}\), рассмотрим её поведение при \(n \to \infty\): \[ \lim_{n \to \infty} x_{n} = \lim_{n \to \infty} a_{2n} \] </li> <li>Заметим, что \(a_{2n+4}\) и \(a_{2n}\) могут иметь разные пределы, так как индексы \(2n+4\) и \(2n\) различаются на константу 4. Однако, если \(\left \{ a_{n} \right \}\) сходится, то любые две подпоследовательности с индексами, отличающимися на константу, также будут сходиться к тому же пределу. </li> <li>Следовательно, если \(\left \{ z_{n} \right \}\) сходится к \(L\), то и \(\left \{ x_{n} \right \}\) также сходится к \(L\): \[ \lim_{n \to \infty} x_{n} = L \] </li> </ol> Таким образом, если последовательность \(\left \{ z_{n} \right \}\) сходится, то и последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) сходится. Ответ: Да

Поделиться в социальных сетях

Комментарии (0)