Решение №3441: Для решения задачи представления числа 26 в виде суммы трех положительных слагаемых \(a\), \(b\) и \(c\), таких что \(a + b + c = 26\) и \(b = 3a\), и при этом сумма их квадратов \(a^2 + b^2 + c^2\) была наименьшей, выполним следующие шаги:

1. Запишем условия задачи:
\[ a + b + c = 26 \] \[ b = 3a \]
2. Подставим \(b = 3a\) в первое уравнение:
\[ a + 3a + c = 26 \] \[ 4a + c = 26 \]
3. Выразим \(c\) через \(a\):
\[ c = 26 - 4a \]
4. Теперь выразим сумму квадратов \(a^2 + b^2 + c^2\):
\[ a^2 + (3a)^2 + (26 - 4a)^2 \] \[ a^2 + 9a^2 + (26 - 4a)^2 \] \[ a^2 + 9a^2 + (676 - 208a + 16a^2) \] \[ a^2 + 9a^2 + 676 - 208a + 16a^2 \] \[ 26a^2 - 208a + 676 \]
5. Найдем минимум функции \(f(a) = 26a^2 - 208a + 676\). Для этого найдем её производную и приравняем её к нулю:
\[ f'(a) = 52a - 208 \] \[ 52a - 208 = 0 \] \[ 52a = 208 \] \[ a = 4 \]
6. Подставим \(a = 4\) в уравнения для \(b\) и \(c\):
\[ b = 3a = 3 \cdot 4 = 12 \] \[ c = 26 - 4a = 26 - 4 \cdot 4 = 26 - 16 = 10 \]
7. Проверим, что сумма \(a + b + c = 26\):
\[ 4 + 12 + 10 = 26 \]
8. Вычислим сумму квадратов:
\[ a^2 + b^2 + c^2 = 4^2 + 12^2 + 10^2 \] \[ = 16 + 144 + 100 \] \[ = 260 \]

Ответ: {4;10;12}

Решение №3444: Для решения задачи найдем время нахождения в пути пешехода и определим значение \( x \), при котором это время будет наибольшим.

1. Обозначим расстояние между городами \( A \) и \( B \) как \( s \) км.
2. Скорость велосипедиста \( v_v = 25 \) км/ч, скорость пешехода \( v_p = x \) км/ч.
3. Время до встречи:
\[ t_1 = \frac{s}{v_v + v_p} = \frac{s}{25 + x} \]
4. После встречи велосипедист возвращается с прежней скоростью, а пешеход увеличивает свою скорость на 1 км/ч, то есть его скорость становится \( v_p' = x + 1 \) км/ч.
5. Время возвращения пешехода:
\[ t_2 = \frac{s}{v_p'} = \frac{s}{x + 1} \]
6. Общее время нахождения в пути пешехода:
\[ T = t_1 + t_2 = \frac{s}{25 + x} + \frac{s}{x + 1} \]
7. Перепишем выражение для общего времени:
\[ T(x) = s \left( \frac{1}{25 + x} + \frac{1}{x + 1} \right) \]
8. Найдем производную функции \( T(x) \) по \( x \):
\[ T'(x) = s \left( -\frac{1}{(25 + x)^2} - \frac{1}{(x + 1)^2} \right) \]
9. Найдем критические точки, решив уравнение \( T'(x) = 0 \):
\[ -\frac{1}{(25 + x)^2} - \frac{1}{(x + 1)^2} = 0 \]
10. Решим уравнение:
\[ \frac{1}{(25 + x)^2} = \frac{1}{(x + 1)^2} \]
11. Это эквивалентно:
\[ (25 + x)^2 = (x + 1)^2 \]
12. Раскроем скобки:
\[ 625 + 50x + x^2 = 1 + 2x + x^2 \]
13. Упростим уравнение:
\[ 625 + 50x = 1 + 2x \]
14. Решим уравнение:
\[ 624 = -48x \] \[ x = -\frac{624}{48} = -13 \]
15. Так как \( x \) должно быть положительным, критическая точка \( x = -13 \) не имеет смысла.
16. Проверим значения функции \( T(x) \) на границах интервала \( [0, \infty) \):
\[ \lim_{x \to 0} T(x) = s \left( \frac{1}{25} + \frac{1}{1} \right) = s \left( \frac{1}{25} + 1 \right) = s \cdot \frac{26}{25} \] \[ \lim_{x \to \infty} T(x) = s \left( 0 + 0 \right) = 0 \]
17. Определим максимальное значение \( T(x) \):
\[ T_{\text{max}} = s \cdot \frac{26}{25} \]
18. Таким образом, время нахождения в пути пешехода будет наибольшим при \( x = 0 \).

Ответ: \(t=\frac{s(2x+1)}{(25+x)(x+1)}\); \(x_{max}=3\)

Решение №3447: Для решения задачи определим время прогулки пешехода и найдем значение \( v \), при котором это время будет наименьшим.

1. Обозначим: \( v \) — скорость пешехода (км/ч), \( v + 9 \) — скорость велосипедиста (км/ч).
2. Пусть \( t_1 \) — время, за которое пешеход прошел 6 км. \[ t_1 = \frac{6}{v} \]
3. Пусть \( t_2 \) — время, за которое велосипедист догнал пешехода. \[ t_2 = \frac{6}{v + 9} \]
4. Пусть \( t_3 \) — время, за которое пешеход и велосипедист вернулись в точку \( A \) со скоростью 4 км/ч. \[ t_3 = \frac{6}{4} = 1.5 \text{ часа} \]
5. Общее время прогулки пешехода \( T \) будет суммой времен \( t_1 \), \( t_2 \) и \( t_3 \): \[ T = t_1 + t_2 + t_3 = \frac{6}{v} + \frac{6}{v + 9} + 1.5 \]
6. Необходимо минимизировать \( T \). Для этого найдем производную \( T \) по \( v \) и приравняем её к нулю.
7. Найдем производную \( T \): \[ T = \frac{6}{v} + \frac{6}{v + 9} + 1.5 \] \[ \frac{dT}{dv} = -\frac{6}{v^2} - \frac{6}{(v + 9)^2} \]
8. Приравняем производную к нулю: \[ -\frac{6}{v^2} - \frac{6}{(v + 9)^2} = 0 \] \[ \frac{6}{v^2} = \frac{6}{(v + 9)^2} \] \[ v^2 = (v + 9)^2 \] \[ v^2 = v^2 + 18v + 81 \] \[ 18v + 81 = 0 \] \[ v = -\frac{81}{18} = -4.5 \]
9. Так как скорость не может быть отрицательной, пересчитаем уравнение: \[ \frac{6}{v^2} = \frac{6}{(v + 9)^2} \] \[ \frac{1}{v^2} = \frac{1}{(v + 9)^2} \] \[ v^2 = (v + 9)^2 \] \[ v^2 = v^2 + 18v + 81 \] \[ 18v + 81 = 0 \] \[ v = 4.5 \]
10. Проверим, является ли найденное значение минимумом. Второй производной не требуется, так как функция \( T \) имеет только один экстремум на интервале \( v > 0 \).
11. Таким образом, значение \( v = 4.5 \) км/ч минимизирует время прогулки пешехода.

Ответ: 6

Решение №3452: Для нахождения точки графика функции \( y = x^2 + \frac{1}{2} \), ближайшей к точке \( A \left( \frac{1}{4}; 1 \right) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти расстояние между точкой \( A \left( \frac{1}{4}; 1 \right) \) и произвольной точкой на графике функции \( y = x^2 + \frac{1}{2} \).
Пусть \( P(x, y) \) — произвольная точка на графике функции. Тогда расстояние \( d \) между точками \( A \) и \( P \) определяется формулой: \[ d = \sqrt{\left( x - \frac{1}{4} \right)^2 + \left( y - 1 \right)^2} \]
2. Подставить \( y = x^2 + \frac{1}{2} \) в формулу расстояния:
\[ d = \sqrt{\left( x - \frac{1}{4} \right)^2 + \left( x^2 + \frac{1}{2} - 1 \right)^2} \] \[ d = \sqrt{\left( x - \frac{1}{4} \right)^2 + \left( x^2 - \frac{1}{2} \right)^2} \]
3. Найти производную функции \( d \) по \( x \):
\[ d'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{\left( x - \frac{1}{4} \right)^2 + \left( x^2 - \frac{1}{2} \right)^2} \right) \] Используем правило цепочки: \[ d'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{\left( x - \frac{1}{4} \right)^2 + \left( x^2 - \frac{1}{2} \right)^2}} \cdot \left( 2 \left( x - \frac{1}{4} \right) + 2 \left( x^2 - \frac{1}{2} \right) \cdot 2x \right) \] \[ d'(x) = \frac{2 \left( x - \frac{1}{4} \right) + 4x \left( x^2 - \frac{1}{2} \right)}{2 \sqrt{\left( x - \frac{1}{4} \right)^2 + \left( x^2 - \frac{1}{2} \right)^2}} \]
4. Найти критические точки, решив уравнение \( d'(x) = 0 \):
\[ 2 \left( x - \frac{1}{4} \right) + 4x \left( x^2 - \frac{1}{2} \right) = 0 \] \[ 2x - \frac{1}{2} + 4x^3 - 2x = 0 \] \[ 4x^3 - \frac{1}{2} = 0 \] \[ 4x^3 = \frac{1}{2} \] \[ x^3 = \frac{1}{8} \] \[ x = \frac{1}{2} \]
5. Вычислить значение функции \( y = x^2 + \frac{1}{2} \) в критической точке \( x = \frac{1}{2} \):
\[ y = \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \]
6. Проверить, является ли точка \( \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{4} \right) \) ближайшей к точке \( A \left( \frac{1}{4}; 1 \right) \):
\[ d = \sqrt{\left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right)^2 + \left( \frac{3}{4} - 1 \right)^2} \] \[ d = \sqrt{\left( \frac{1}{4} \right)^2 + \left( -\frac{1}{4} \right)^2} \] \[ d = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{1}{16}} \] \[ d = \sqrt{\frac{2}{16}} \] \[ d = \sqrt{\frac{1}{8}} \] \[ d = \frac{\sqrt{2}}{4} \]
7. Сравнить расстояние с другими возможными точками на графике функции и убедиться, что данная точка является ближайшей.

Ответ: <0,5;0,75>

Решение №3453: Для нахождения наименьшего расстояния от точки \( M(2;0) \) до точек графика функции \( y = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{27(x-2)}} \) и умножения результата на \( \sqrt{3} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Выразить расстояние от точки \( M(2;0) \) до произвольной точки на графике функции \( y = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{27(x-2)}} \).
Расстояние между точками \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \) на плоскости определяется формулой: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] В нашем случае \( (x_1, y_1) = (2, 0) \) и \( (x_2, y_2) = (x, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{27(x-2)}}) \). Тогда: \[ d(x) = \sqrt{(x - 2)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{27(x-2)}}\right)^2} \]
2. Упростить выражение для расстояния.
\[ d(x) = \sqrt{(x - 2)^2 + \frac{2}{27(x-2)}} \]
3. Найти производную функции расстояния \( d(x) \).
\[ d(x) = \sqrt{(x - 2)^2 + \frac{2}{27(x-2)}} \] Обозначим \( u = (x - 2)^2 \) и \( v = \frac{2}{27(x-2)} \). Тогда: \[ d(x) = \sqrt{u + v} \] Производная \( d(x) \): \[ d'(x) = \frac{1}{2\sqrt{u + v}} \left( \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} \right) \] Найдем \( \frac{du}{dx} \) и \( \frac{dv}{dx} \): \[ \frac{du}{dx} = 2(x - 2) \] \[ \frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{2}{27(x-2)} \right) = \frac{2}{27} \cdot \frac{-1}{(x-2)^2} = -\frac{2}{27(x-2)^2} \] Тогда: \[ d'(x) = \frac{1}{2\sqrt{(x-2)^2 + \frac{2}{27(x-2)}}} \left( 2(x-2) - \frac{2}{27(x-2)^2} \right) \]
4. Найти критические точки, решив уравнение \( d'(x) = 0 \).
\[ 2(x-2) - \frac{2}{27(x-2)^2} = 0 \] Упростим уравнение: \[ 2(x-2) = \frac{2}{27(x-2)^2} \] Умножим обе части на \( 27(x-2)^2 \): \[ 54(x-2)^3 = 2 \] Решим уравнение: \[ (x-2)^3 = \frac{1}{27} \] Тогда: \[ x-2 = \frac{1}{3} \] Следовательно: \[ x = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \]
5. Вычислить значение функции \( d(x) \) в критической точке \( x = \frac{7}{3} \).
\[ d\left(\frac{7}{3}\right) = \sqrt{\left(\frac{7}{3} - 2\right)^2 + \frac{2}{27\left(\frac{7}{3} - 2\right)}} \] Упростим: \[ d\left(\frac{7}{3}\right) = \sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \frac{2}{27 \cdot \frac{1}{3}}} \] \[ d\left(\frac{7}{3}\right) = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{2}{9}} \] \[ d\left(\frac{7}{3}\right) = \sqrt{\frac{3}{9}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \]
6. Умножить результат на \( \sqrt{3} \).
\[ d\left(\frac{7}{3}\right) \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = 1 \]

Ответ: 1

Решение №3461: Для решения задачи о нахождении абсциссы вершины \(D\) прямоугольника \(ABCD\), чтобы его площадь была наименьшей, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить координаты вершин прямоугольника:
• Вершина \(A\) имеет координаты \((a, 0)\), где \(a\) — абсцисса точки \(A\).
• Вершина \(B\) имеет координаты \((b, 0)\), где \(b\) — абсцисса точки \(B\).
• Вершина \(C\) имеет координаты \((b, b^2 - 4b + 3)\), так как она лежит на параболе \(y = x^2 - 4x + 3\).
• Вершина \(D\) имеет координаты \((a, -a^2 + 2a - 2)\), так как она лежит на параболе \(y = -x^2 + 2x - 2\).
2. Выразить длины сторон прямоугольника:
• Длина стороны \(AB\) равна \(b - a\).
• Длина стороны \(AD\) равна \(|-a^2 + 2a - 2|\).
3. Выразить площадь прямоугольника \(ABCD\):
\[ S = (b - a) \cdot |-a^2 + 2a - 2| \]
4. Учитывая, что \(b = a + \Delta x\), где \(\Delta x = b - a\), и \(a\) принадлежит отрезку \(\left[\frac{4}{5}; \frac{3}{2}\right]\), найдем минимум площади:
• Площадь прямоугольника \(S\) можно выразить как:
\[ S = \Delta x \cdot |-a^2 + 2a - 2| \]
• Минимизировать выражение \(|-a^2 + 2a - 2|\):
• Найдем производную функции \(f(a) = -a^2 + 2a - 2\):
\[ f'(a) = -2a + 2 \]
• Найдем критические точки, решив уравнение \(f'(a) = 0\):
\[ -2a + 2 = 0 \implies a = 1 \]
• Проверим, попадает ли \(a = 1\) в отрезок \(\left[\frac{4}{5}; \frac{3}{2}\right]\):
• \(1\) не попадает в отрезок \(\left[\frac{4}{5}; \frac{3}{2}\right]\), поэтому рассмотрим значения на концах отрезка.
• Вычислим значения функции \(|-a^2 + 2a - 2|\) на концах отрезка:
• Для \(a = \frac{4}{5}\):
\[ |-(\frac{4}{5})^2 + 2 \cdot \frac{4}{5} - 2| = |-\frac{16}{25} + \frac{8}{5} - 2| = |-\frac{16}{25} + \frac{40}{25} - \frac{50}{25}| = |\frac{-26}{25}| = \frac{26}{25} \]
• Для \(a = \frac{3}{2}\):
\[ |-(\frac{3}{2})^2 + 2 \cdot \frac{3}{2} - 2| = |-\frac{9}{4} + 3 - 2| = |-\frac{9}{4} + \frac{12}{4} - \frac{8}{4}| = |\frac{-5}{4}| = \frac{5}{4} \]
• Сравнить значения:
• \(\frac{26}{25} \approx 1.04\)
• \(\frac{5}{4} = 1.25\)
• Минимальное значение достигается при \(a = \frac{4}{5}\).

Ответ: 0.8

Решение №7319: Для решения задачи определим, при каком значении \( a \) автомобиль быстрее всего пройдет путь от пункта \( B \) до пункта \( C \).

1. Обозначим расстояние от \( A \) до \( B \) как \( d \), а от \( B \) до \( C \) как \( D \).
2. Скорость автомобиля на участке от \( A \) до \( B \) равна 48 км/ч.
3. На участке от \( B \) до \( C \) автомобиль сначала уменьшает скорость на \( a \) км/ч и проезжает третью часть пути \( \frac{D}{3} \) со скоростью \( 48 - a \) км/ч.
4. Оставшиеся две трети пути \( \frac{2D}{3} \) автомобиль проезжает со скоростью \( 48 + 2a \) км/ч.
5. Время \( t_1 \), затраченное на прохождение первой трети пути \( \frac{D}{3} \), равно: \[ t_1 = \frac{\frac{D}{3}}{48 - a} = \frac{D}{3(48 - a)} \]
6. Время \( t_2 \), затраченное на прохождение оставшихся двух третей пути \( \frac{2D}{3} \), равно: \[ t_2 = \frac{\frac{2D}{3}}{48 + 2a} = \frac{2D}{3(48 + 2a)} \]
7. Общее время \( t \), затраченное на прохождение всего пути от \( B \) до \( C \), равно: \[ t = t_1 + t_2 = \frac{D}{3(48 - a)} + \frac{2D}{3(48 + 2a)} \]
8. Упростим выражение для общего времени: \[ t = \frac{D}{3} \left( \frac{1}{48 - a} + \frac{2}{48 + 2a} \right) \]
9. Для минимизации времени \( t \) необходимо минимизировать выражение в скобках. Обозначим его как \( f(a) \): \[ f(a) = \frac{1}{48 - a} + \frac{2}{48 + 2a} \]
10. Найдем производную \( f(a) \) и приравняем её к нулю для нахождения критических точек: \[ f'(a) = \frac{d}{da} \left( \frac{1}{48 - a} + \frac{2}{48 + 2a} \right) \] \[ f'(a) = \frac{1}{(48 - a)^2} - \frac{4}{(48 + 2a)^2} \] \[ \frac{1}{(48 - a)^2} = \frac{4}{(48 + 2a)^2} \]
11. Решим уравнение: \[ (48 + 2a)^2 = 4(48 - a)^2 \] \[ 48 + 2a = 2(48 - a) \] \[ 48 + 2a = 96 - 2a \] \[ 4a = 48 \] \[ a = 12 \]
12. Проверим, что \( a = 12 \) действительно минимизирует функцию \( f(a) \). Для этого проверим знак производной \( f'(a) \) слева и справа от \( a = 12 \): \[ f'(a) = \frac{1}{(48 - a)^2} - \frac{4}{(48 + 2a)^2} \] Для \( a < 12 \): \[ f'(a) > 0 \] Для \( a > 12 \): \[ f'(a) < 0 \] Следовательно, \( a = 12 \) является точкой минимума.
13. Таким образом, автомобиль быстрее всего пройдет путь от \( B \) до \( C \), если \( a = 12 \).

Ответ: 12

Решение №7321: Для решения задачи определения времени, через которое расстояние между двумя автомобилями станет наименьшим, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить координаты автомобилей в зависимости от времени \( t \).
Пусть \( t \) — время, прошедшее с момента, когда автомобили находятся на расстоянии \( s_1 = 2 \) км и \( s_2 = 3 \) км от перекрестка. Тогда координаты автомобилей в зависимости от времени будут: \[ x_1(t) = 2 - 40t \] \[ y_2(t) = 3 - 50t \]
2. Записать выражение для расстояния между автомобилями в зависимости от времени \( t \).
Расстояние между автомобилями \( d(t) \) можно найти с помощью теоремы Пифагора: \[ d(t) = \sqrt{(x_1(t))^2 + (y_2(t))^2} \] Подставим координаты: \[ d(t) = \sqrt{(2 - 40t)^2 + (3 - 50t)^2} \]
3. Найти производную функции расстояния \( d(t) \) и приравнять её к нулю для нахождения критических точек.
Найдём производную \( d(t) \): \[ d(t) = \sqrt{(2 - 40t)^2 + (3 - 50t)^2} \] \[ d^2(t) = (2 - 40t)^2 + (3 - 50t)^2 \] Производная \( d^2(t) \): \[ \frac{d}{dt}(d^2(t)) = 2(2 - 40t)(-40) + 2(3 - 50t)(-50) \] \[ 2(2 - 40t)(-40) + 2(3 - 50t)(-50) = 0 \] \[ -80(2 - 40t) - 100(3 - 50t) = 0 \] \[ -160 + 3200t - 300 + 5000t = 0 \] \[ 8200t = 460 \] \[ t = \frac{460}{8200} = \frac{23}{410} \approx 0.056 \]
4. Проверить, является ли найденная точка минимумом.
Для проверки достаточно рассмотреть значения функции \( d(t) \) до и после найденной точки \( t \approx 0.056 \). Если значения функции увеличиваются по обе стороны от этой точки, то это минимум.
5. Вычислить значение функции расстояния в найденной точке.
Подставим \( t \approx 0.056 \) в выражение для расстояния: \[ d(0.056) = \sqrt{(2 - 40 \cdot 0.056)^2 + (3 - 50 \cdot 0.056)^2} \] \[ d(0.056) = \sqrt{(2 - 2.24)^2 + (3 - 2.8)^2} \] \[ d(0.056) = \sqrt{(-0.24)^2 + (0.2)^2} \] \[ d(0.056) = \sqrt{0.0576 + 0.04} \] \[ d(0.056) = \sqrt{0.0976} \approx 0.312 \]

Ответ: 23/410

Решение №7322: Для нахождения минимальной и максимальной разницы во времени прибытия в \(Б\) пешехода и велосипедиста, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определим время встречи пешехода и велосипедиста. Пусть \(t\) — время встречи в часах.
2. Запишем уравнение для нахождения времени встречи: \[ 6t + vt = 36 \]
3. Решим это уравнение относительно \(t\): \[ t = \frac{36}{6 + v} \]
4. Найдем время, которое велосипедист едет после встречи с пешеходом до момента поворота. Велосипедист едет еще 20 минут, что составляет \(\frac{20}{60} = \frac{1}{3}\) часа.
5. Запишем уравнение для нахождения расстояния, которое велосипедист проезжает за это время: \[ \text{Расстояние} = v \cdot \frac{1}{3} \]
6. Найдем время, которое велосипедист тратит на возвращение в \(Б\) после поворота. Это время равно времени, которое он тратит на дорогу до поворота: \[ \text{Время на возвращение} = \frac{2}{3}t \]
7. Теперь найдем общее время, которое велосипедист тратит на путь до \(Б\): \[ \text{Общее время велосипедиста} = t + \frac{2}{3}t = \frac{5}{3}t \]
8. Теперь найдем время, которое пешеход тратит на путь до \(Б\): \[ \text{Время пешехода} = \frac{36}{6} = 6 \text{ часов} \]
9. Найдем разницу во времени прибытия в \(Б\) пешехода и велосипедиста: \[ \text{Разница во времени} = 6 - \frac{5}{3}t \]
10. Подставим выражение для \(t\): \[ \text{Разница во времени} = 6 - \frac{5}{3} \cdot \frac{36}{6 + v} = 6 - \frac{60}{6 + v} \]
11. Теперь найдем минимальную и максимальную разницу во времени, подставив граничные значения \(v\):
12. Для \(v = 10\): \[ \text{Разница во времени} = 6 - \frac{60}{6 + 10} = 6 - \frac{60}{16} = 6 - 3.75 = 2.25 \text{ часа} \]
13. Для \(v = 15\): \[ \text{Разница во времени} = 6 - \frac{60}{6 + 15} = 6 - \frac{60}{21} = 6 - \frac{20}{7} = 6 - 2.857 = 3.143 \text{ часа} \]
14. Сравним полученные значения:
15. Минимальная разница во времени: \(2.25\) часа (при \(v = 10\))
16. Максимальная разница во времени: \(3.143\) часа (при \(v = 15\))

Ответ: {5/6;40/21}

Решение №7323: Для нахождения скорости катера, при которой стоимость прохода 1 км пути будет наименьшей, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Записать функцию затрат на прохождение 1 км пути:
\[ C(v) = \frac{90 + 0.4v^2}{v} \]
2. Упростить функцию затрат:
\[ C(v) = \frac{90}{v} + 0.4v \]
3. Найти производную функции затрат \( C(v) \):
\[ C'(v) = \frac{d}{dv}\left(\frac{90}{v} + 0.4v\right) \] \[ C'(v) = -\frac{90}{v^2} + 0.4 \]
4. Найти критические точки, решив уравнение \( C'(v) = 0 \):
\[ -\frac{90}{v^2} + 0.4 = 0 \] \[ \frac{90}{v^2} = 0.4 \] \[ v^2 = \frac{90}{0.4} \] \[ v^2 = 225 \] \[ v = 15 \quad (\text{скорость должна быть положительной}) \]
5. Проверить, является ли найденная точка точкой минимума:
\[ C'(v) = \frac{d}{dv}\left(-\frac{90}{v^2} + 0.4\right) \] \[ C'(v) = \frac{180}{v^3} \] \[ C'(15) = \frac{180}{15^3} > 0 \] Поскольку вторая производная положительна, точка \( v = 15 \) является точкой минимума.
6. Вычислить минимальную стоимость прохода 1 км пути:
\[ C(15) = \frac{90}{15} + 0.4 \cdot 15 \] \[ C(15) = 6 + 6 = 12 \]

Ответ: 15

Решение №7329: Для нахождения наименьшего значения длины отрезка \( AB \), где точка \( A \) лежит на графике функции \( y = x^2 - 2x \), а точка \( B \) — на графике функции \( y = -x^2 + 14x - 50 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Представим точки \( A \) и \( B \) в виде \( A(x_1, y_1) \) и \( B(x_2, y_2) \).
2. Найдем выражение для квадрата расстояния между точками \( A \) и \( B \): \[ d^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 \]
3. Подставим выражения для \( y_1 \) и \( y_2 \) из уравнений функций: \[ y_1 = x_1^2 - 2x_1 \] \[ y_2 = -x_2^2 + 14x_2 - 50 \]
4. Подставим эти выражения в формулу для квадрата расстояния: \[ d^2 = (x_1 - x_2)^2 + (x_1^2 - 2x_1 - (-x_2^2 + 14x_2 - 50))^2 \] \[ = (x_1 - x_2)^2 + (x_1^2 - 2x_1 + x_2^2 - 14x_2 + 50)^2 \]
5. Упростим выражение: \[ d^2 = (x_1 - x_2)^2 + (x_1^2 + x_2^2 - 2x_1 - 14x_2 + 50)^2 \]
6. Для минимизации расстояния, рассмотрим случай, когда \( x_1 = x_2 = x \). В этом случае \( A \) и \( B \) будут лежать на вертикальной линии, и расстояние между ними будет минимальным.
7. Теперь найдем \( y_1 \) и \( y_2 \) для \( x_1 = x_2 = x \): \[ y_1 = x^2 - 2x \] \[ y_2 = -x^2 + 14x - 50 \]
8. Расстояние между точками \( A \) и \( B \) будет: \[ d = |y_1 - y_2| = |x^2 - 2x - (-x^2 + 14x - 50)| \] \[ = |2x^2 - 16x + 50| \]
9. Для минимизации \( d \), найдем минимум функции \( f(x) = 2x^2 - 16x + 50 \). Найдем производную функции \( f(x) \): \[ f'(x) = 4x - 16 \]
10. Найдем критические точки, решив уравнение \( f'(x) = 0 \): \[ 4x - 16 = 0 \] \[ 4x = 16 \] \[ x = 4 \]
11. Подставим \( x = 4 \) в \( f(x) \): \[ f(4) = 2(4)^2 - 16(4) + 50 \] \[ = 2 \cdot 16 - 64 + 50 \] \[ = 32 - 64 + 50 \] \[ = 18 \]
12. Таким образом, минимальное значение функции \( f(x) \) равно 18, и минимальное расстояние между точками \( A \) и \( B \) равно: \[ d = \sqrt{18} \]

Ответ: 2\sqrt{5}

Решение №7332: Для нахождения наибольшей площади треугольника, ограниченного касательной к функции \( y = \frac{1}{x^2} \) в точке с абсциссой \(\alpha\) из отрезка \([5; 9]\), осью абсцисс и прямой \( x = 4 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y = \frac{1}{x^2} \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{2}{x^3} \]
2. Найти уравнение касательной в точке \( x = \alpha \):
\[ y = \frac{1}{\alpha^2} - \frac{2}{\alpha^3}(x - \alpha) \] Упростим уравнение: \[ y = \frac{1}{\alpha^2} - \frac{2}{\alpha^3}x + \frac{2}{\alpha^2} = \frac{3}{\alpha^2} - \frac{2}{\alpha^3}x \]
3. Найти точку пересечения касательной с осью абсцисс (\( y = 0 \)):
\[ 0 = \frac{3}{\alpha^2} - \frac{2}{\alpha^3}x \] Решим уравнение относительно \( x \): \[ \frac{3}{\alpha^2} = \frac{2}{\alpha^3}x \implies x = \frac{3\alpha}{2} \]
4. Найти точку пересечения касательной с прямой \( x = 4 \):
\[ y = \frac{3}{\alpha^2} - \frac{2}{\alpha^3} \cdot 4 = \frac{3}{\alpha^2} - \frac{8}{\alpha^3} \] Упростим: \[ y = \frac{3\alpha - 8}{\alpha^3} \]
5. Найти площадь треугольника, ограниченного касательной, осью абсцисс и прямой \( x = 4 \):
\[ S = \frac{1}{2} \left| \frac{3\alpha}{2} - 4 \right| \left| \frac{3\alpha - 8}{\alpha^3} \right| \] Упростим выражение: \[ S = \frac{1}{2} \left( \frac{3\alpha}{2} - 4 \right) \left( \frac{3\alpha - 8}{\alpha^3} \right) \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot \frac{(3\alpha - 8)^2}{2\alpha^3} \] \[ S = \frac{(3\alpha - 8)^2}{4\alpha^3} \]
6. Найти наибольшее значение функции \( S(\alpha) \) на отрезке \([5; 9]\):
\[ S(\alpha) = \frac{(3\alpha - 8)^2}{4\alpha^3} \] Найдем производную \( S'(\alpha) \): \[ S'(\alpha) = \frac{d}{d\alpha} \left( \frac{(3\alpha - 8)^2}{4\alpha^3} \right) \] Используем правило производной частного: \[ S'(\alpha) = \frac{(6\alpha - 16)(3\alpha - 8) \cdot 4\alpha^3 - (3\alpha - 8)^2 \cdot 12\alpha^2}{(4\alpha^3)^2} \] Упростим: \[ S'(\alpha) = \frac{24\alpha^2 - 96\alpha - 12\alpha^2 + 96\alpha}{(4\alpha^3)^2} = \frac{12\alpha^2}{(4\alpha^3)^2} = \frac{3}{\alpha^4} (3\alpha - 8)(2\alpha - 8) \] Найдем критические точки, решив уравнение \( S'(\alpha) = 0 \): \[ (3\alpha - 8)(2\alpha - 8) = 0 \] Корни уравнения: \[ \alpha = \frac{8}{3}, \quad \alpha = 4 \] Критические точки \( \alpha = \frac{8}{3} \) и \( \alpha = 4 \) не попадают в отрезок \([5; 9]\).
7. Проверим значения функции \( S(\alpha) \) на концах отрезка \([5; 9]\):
\[ S(5) = \frac{(3 \cdot 5 - 8)^2}{4 \cdot 5^3} = \frac{(15 - 8)^2}{4 \cdot 125} = \frac{49}{500} = 0.098 \] \[ S(9) = \frac{(3 \cdot 9 - 8)^2}{4 \cdot 9^3} = \frac{(27 - 8)^2}{4 \cdot 729} = \frac{361}{2916} \approx 0.1237 \]
8. Сравним полученные значения и определим наибольшее значение функции на отрезке:
Наибольшее значение: \( S(9) \approx 0.1237 \)

Ответ: 0.125

Решение №13612: Для представления числа 18 в виде суммы двух положительных слагаемых \( x \) и \( y \) так, чтобы сумма удвоенного куба одного из них и удевятеренного квадрата другого была наименьшей, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Записать условие задачи в виде уравнения: \[ x + y = 18 \]
2. Записать выражение для минимизации: \[ S = 2x^3 + 9y^2 \]
3. Выразить \( y \) через \( x \) из первого уравнения: \[ y = 18 - x \]
4. Подставить \( y \) в выражение для \( S \): \[ S = 2x^3 + 9(18 - x)^2 \]
5. Раскрыть скобки и упростить выражение: \[ S = 2x^3 + 9(324 - 36x + x^2) = 2x^3 + 2916 - 324x + 9x^2 \]
6. Найти производную \( S \) по \( x \): \[ S' = \frac{d}{dx}(2x^3 + 9x^2 - 324x + 2916) = 6x^2 + 18x - 324 \]
7. Найти критические точки, решив уравнение \( S' = 0 \): \[ 6x^2 + 18x - 324 = 0 \]
8. Упростить уравнение: \[ x^2 + 3x - 54 = 0 \]
9. Решить квадратное уравнение: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 216}}{2} = \frac{-3 \pm 15}{2} \]
10. Получить два корня: \[ x_1 = \frac{-3 + 15}{2} = 6 \] \[ x_2 = \frac{-3 - 15}{2} = -9 \]
11. Поскольку \( x \) и \( y \) должны быть положительными, отбросить отрицательное значение \( x = -9 \): \[ x = 6 \]
12. Найти соответствующее значение \( y \): \[ y = 18 - x = 18 - 6 = 12 \]
13. Проверить, что сумма удвоенного куба \( x \) и удевятеренного квадрата \( y \) минимальна: \[ S = 2(6)^3 + 9(12)^2 = 2 \cdot 216 + 9 \cdot 144 = 432 + 1296 = 1728 \]

Ответ: {6;12}

Решение №13615: Для решения задачи представления числа 18 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Запишем число 18 как сумму двух положительных чисел \( a \) и \( b \): \[ a + b = 18 \]
2. Нам нужно минимизировать сумму квадратов этих чисел: \[ a^2 + b^2 \]
3. Используем метод Лагранжа для нахождения минимума функции \( f(a, b) = a^2 + b^2 \) при условии \( g(a, b) = a + b - 18 = 0 \).
4. Составим функцию Лагранжа: \[ L(a, b, \lambda) = a^2 + b^2 + \lambda (a + b - 18) \]
5. Найдем частные производные функции Лагранжа и приравняем их к нулю: \[ \frac{\partial L}{\partial a} = 2a + \lambda = 0 \] \[ \frac{\partial L}{\partial b} = 2b + \lambda = 0 \] \[ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = a + b - 18 = 0 \]
6. Из первых двух уравнений: \[ 2a + \lambda = 0 \implies \lambda = -2a \] \[ 2b + \lambda = 0 \implies \lambda = -2b \]
7. Из равенства \( \lambda = -2a \) и \( \lambda = -2b \) следует, что: \[ -2a = -2b \implies a = b \]
8. Подставим \( a = b \) в уравнение \( a + b = 18 \): \[ a + a = 18 \implies 2a = 18 \implies a = 9 \] \[ b = 9 \]
9. Таким образом, число 18 можно представить в виде суммы двух чисел \( a = 9 \) и \( b = 9 \), и сумма их квадратов будет: \[ a^2 + b^2 = 9^2 + 9^2 = 81 + 81 = 162 \]

Ответ: {9;9}

Решение №13616: Для решения задачи Число 36 представить в виде произведения двух сомножителей так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Обозначим сомножители как \( a \) и \( b \), такие что \( a \cdot b = 36 \).
2. Необходимо минимизировать сумму их квадратов \( a^2 + b^2 \).
3. Используем тот факт, что для минимизации суммы квадратов сомножители должны быть как можно ближе друг к другу. Это следует из неравенства Коши-Шварца:
\[ (a^2 + b^2) \geq 2ab \]
4. Подставим \( ab = 36 \) в неравенство: \[ (a^2 + b^2) \geq 2 \cdot 36 = 72 \]
5. Равенство достигается, когда \( a = b \). Следовательно, \( a \) и \( b \) должны быть равны.
6. Решим уравнение \( a \cdot a = 36 \): \[ a^2 = 36 \implies a = \sqrt{36} = 6 \]
7. Таким образом, \( b = 6 \).
8. Проверим, что сумма квадратов минимальна: \[ a^2 + b^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72 \]

Ответ: 6*6

Решение №13618: Для решения задачи о туристе, который идет из пункта \(A\) в пункт \(Б\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить переменные и параметры задачи:
\[ \begin{aligned} &A \text{ - начальная точка на шоссе} \\ &B \text{ - конечная точка, находящаяся в 8 км от шоссе} \\ &AB = 17 \text{ км - расстояние по прямой} \\ &v_{\text{шоссе}} = 5 \text{ км/ч - скорость по шоссе} \\ &v_{\text{бездорожье}} = 3 \text{ км/ч - скорость по бездорожью} \end{aligned} \]
2. Обозначим \(x\) - расстояние, пройденное по шоссе до точки поворота, и \(y\) - расстояние, пройденное по бездорожью.
3. Используем теорему Пифагора для нахождения \(y\):
\[ y = \sqrt{8^2 + (17 - x)^2} \]
4. Выразим общее время \(T\) в пути как сумму времени по шоссе и времени по бездорожью:
\[ T = \frac{x}{5} + \frac{\sqrt{8^2 + (17 - x)^2}}{3} \]
5. Найдем производную функции \(T(x)\) по \(x\):
\[ T'(x) = \frac{1}{5} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2(17 - x)(-1)}{2\sqrt{8^2 + (17 - x)^2}} = \frac{1}{5} - \frac{17 - x}{3\sqrt{64 + (17 - x)^2}} \]
6. Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
\[ \frac{1}{5} - \frac{17 - x}{3\sqrt{64 + (17 - x)^2}} = 0 \]
7. Решим уравнение относительно \(x\):
\[ \frac{1}{5} = \frac{17 - x}{3\sqrt{64 + (17 - x)^2}} \]
8. Умножим обе стороны на \(3\sqrt{64 + (17 - x)^2}\):
\[ 3\sqrt{64 + (17 - x)^2} = 5(17 - x) \]
9. Возведем обе стороны в квадрат:
\[ 9(64 + (17 - x)^2) = 25(17 - x)^2 \]
10. Раскроем скобки и упростим уравнение:
\[ 576 + 9(17 - x)^2 = 25(17 - x)^2 \] \[ 576 = 16(17 - x)^2 \] \[ (17 - x)^2 = \frac{576}{16} \] \[ (17 - x)^2 = 36 \] \[ 17 - x = \pm 6 \]
11. Решим уравнение:
\[ x = 17 - 6 = 11 \quad \text{или} \quad x = 17 + 6 = 23 \]
12. Проверим, какое значение \(x\) имеет смысл в контексте задачи (расстояние по шоссе до точки поворота должно быть меньше 17 км):
\[ x = 11 \text{ км} \]
13. Следовательно, туристу следует свернуть с шоссе на расстоянии 11 км от пункта \(A\).

Ответ: В 9 км от \(А\)

Решение №13624: Для решения задачи определения максимального расстояния, которое автомобиль может пройти на резине, если передние и задние колеса можно менять местами, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить износ резины на передних и задних колесах:
• Передние колеса выходят из строя через 24000 км.
• Задние колеса выходят из строя через 36000 км.
2. Рассмотреть стратегию менять колеса местами для равномерного износа:
• Если передние колеса выходят из строя через 24000 км, а задние через 36000 км, то для равномерного износа можно менять передние и задние колеса местами после 12000 км пробега.
3. Вычислить, сколько времени прослужат передние колеса после первой замены:
• После 12000 км передние колеса будут заменены на задние, которые уже проехали 12000 км. Задние колеса могут проехать еще 24000 км (36000 - 12000).
4. Вычислить, сколько времени прослужат задние колеса после первой замены:
• После 12000 км задние колеса будут заменены на передние, которые уже проехали 12000 км. Передние колеса могут проехать еще 12000 км (24000 - 12000).
5. Определить максимальное расстояние, которое автомобиль может пройти на этой резине:
• После первых 12000 км можно снова поменять колеса местами. Теперь передние колеса, которые уже проехали 12000 км, будут на задней оси и могут проехать еще 24000 км (36000 - 12000).
• Задние колеса, которые уже проехали 12000 км, будут на передней оси и могут проехать еще 12000 км (24000 - 12000).
6. Суммировать все пройденные расстояния:
• Первые 12000 км + еще 12000 км на передней оси + 24000 км на задней оси = 48000 км.

Ответ: 28800

Решение №13627: Для нахождения наименьшего значения длины отрезка \(MN\), где точка \(M\) лежит на прямой \(y = 1 - x\), а точка \(N\) — на параболе \(y = x^2 - 5x + 6\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции параболы \( y = x^2 - 5x + 6 \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 - 5x + 6) = 2x - 5 \]
2. Найти точки касания прямой \( y = 1 - x \) и параболы \( y = x^2 - 5x + 6 \). Для этого нужно найти точки, где касательная к параболе параллельна прямой \( y = 1 - x \). Угол наклона прямой \( y = 1 - x \) равен \(-1\), следовательно, касательная к параболе должна иметь ту же производную:
\[ 2x - 5 = -1 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 2x - 5 = -1 \implies \] \[ 2x = 4 \implies \] \[ x = 2 \]
4. Найти соответствующее значение \( y \) для \( x = 2 \):
\[ y = 2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0 \]
5. Точка касания параболы \( y = x^2 - 5x + 6 \) с касательной, параллельной прямой \( y = 1 - x \), находится в точке \( (2, 0) \).
6. Найти уравнение касательной к параболе в точке \( (2, 0) \). Для этого используем формулу касательной к параболе в точке \( (x_0, y_0) \):
\[ y - y_0 = y'(x_0)(x - x_0) \] где \( x_0 = 2 \), \( y_0 = 0 \), \( y'(x_0) = -1 \): \[ y - 0 = -1(x - 2) \implies \] \[ y = -x + 2 \]
7. Найти точку пересечения касательной \( y = -x + 2 \) с прямой \( y = 1 - x \):
\[ -x + 2 = 1 - x \implies \] \[ 2 = 1 \quad \text{(неверное уравнение, значит, касательная и прямая параллельны)} \]
8. Так как касательная и прямая параллельны, наименьшее расстояние между точками \( M \) и \( N \) будет перпендикулярным расстоянием от точки \( (2, 0) \) до прямой \( y = 1 - x \). Расстояние от точки \( (x_1, y_1) \) до прямой \( Ax + By + C = 0 \) определяется формулой:
\[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] где \( A = 1 \), \( B = 1 \), \( C = -1 \), \( x_1 = 2 \), \( y_1 = 0 \): \[ d = \frac{|1 \cdot 2 + 1 \cdot 0 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|2 - 1|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Ответ: 0.5

Решение №13628: Для нахождения наименьшего значения длины отрезка \( AB \), где точка \( A \) лежит на графике функции \( y = \frac{1}{8}(x^2 - 12x) \), а точка \( B \) — на кривой \( x^2 + y^2 - 18x - 12y + 97 = 0 \), необходимо выполнить следующие шаги: 1. **Определить геометрическую форму кривой \( B \)**: \[ x^2 + y^2 - 18x - 12y + 97 = 0 \] 2. **Завершить квадраты для упрощения уравнения**: \[ x^2 - 18x + y^2 - 12y + 97 = 0 \] \[ (x^2 - 18x + 81) + (y^2 - 12y + 36) = 97 - 81 - 36 \] \[ (x - 9)^2 + (y - 6)^2 = 16 \] 3. **Интерпретировать уравнение как уравнение окружности**: \[ (x - 9)^2 + (y - 6)^2 = 4^2 \] Это уравнение окружности с центром в точке \( (9, 6) \) и радиусом \( 4 \). 4. **Выразить функцию \( y \) через \( x \)**: \[ y = \frac{1}{8}(x^2 - 12x) \] 5. **Найти точку на параболе, ближайшую к центру окружности \( (9, 6) \)**: Найти производную функции \( y \): \[ y' = \frac{1}{8}(2x - 12) = \frac{1}{4}x - \frac{3}{2} \] 6. **Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \)**: \[ \frac{1}{4}x - \frac{3}{2} = 0 \] \[ \frac{1}{4}x = \frac{3}{2} \] \[ x = 6 \] 7. **Найти координаты точки \( A \) на параболе при \( x = 6 \)**: \[ y = \frac{1}{8}(6^2 - 12 \cdot 6) = \frac{1}{8}(36 - 72) = \frac{1}{8}(-36) = -4.5 \] Точка \( A \) имеет координаты \( (6, -4.5) \). 8. **Найти расстояние от точки \( A \) до центра окружности \( (9, 6) \)**: \[ \text{Расстояние} = \sqrt{(9 - 6)^2 + (6 + 4.5)^2} = \sqrt{3^2 + 10.5^2} = \sqrt{9 + 110.25} = \sqrt{119.25} \] 9. **Вычесть радиус окружности \( 4 \) из найденного расстояния**: \[ \text{Наименьшее расстояние} = \sqrt{119.25} - 4 \] 10. **Упростить выражение**: \[ \sqrt{119.25} \approx 10.92 \] \[ \text{Наименьшее расстояние} \approx 10.92 - 4 = 6.92 \] Ответ:
Наименьшее значение длины отрезка \( AB \): \( \approx 6.92 \)

Ответ: \frac{\sqrt{5}}{2}

Решение №13630: Для решения задачи о нахождении значений \(a\), при которых точка \(M(3;0)\) является ближайшей к графику функции \(y = ax^2\) среди всех точек отрезка \([M, N]\), где \(N(5;2)\), необходимо выполнить следующие шаги: 1. **Параметризация отрезка \(MN\)**: Отрезок \(MN\) можно параметризовать как: \[ x = 3 + 2t, \quad y = 2t \quad \text{где} \quad t \in [0, 1] \] 2. **Функция расстояния**: Расстояние от точки \((x, y)\) до графика функции \(y = ax^2\) определяется как: \[ d = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - ax_0^2)^2} \] где \(x_0\) — это абсцисса точки на графике \(y = ax^2\). 3. **Подставляем параметризацию**: Подставим \(x = 3 + 2t\) и \(y = 2t\) в функцию расстояния: \[ d = \sqrt{(3 + 2t - x_0)^2 + (2t - ax_0^2)^2} \] 4. **Упрощение расстояния**: Для упрощения, найдем минимум функции \(D(t) = d^2\): \[ D(t) = (3 + 2t - x_0)^2 + (2t - ax_0^2)^2 \] 5. **Производная функции \(D(t)\)**: Найдем производную \(D(t)\) по \(t\): \[ D'(t) = 2(3 + 2t - x_0)(2) + 2(2t - ax_0^2)(2) \] \[ D'(t) = 4(3 + 2t - x_0) + 4(2t - ax_0^2) \] 6. **Уравнение \(D'(t) = 0\)**: Решим уравнение \(D'(t) = 0\): \[ 4(3 + 2t - x_0) + 4(2t - ax_0^2) = 0 \] \[ 4(3 + 2t - x_0 + 2t - ax_0^2) = 0 \] \[ 3 + 4t - x_0 + 2t - ax_0^2 = 0 \] \[ 3 + 6t - x_0 - ax_0^2 = 0 \] 7. **Решение относительно \(t\)**: \[ 6t = x_0 + ax_0^2 - 3 \] \[ t = \frac{x_0 + ax_0^2 - 3}{6} \] 8. **Проверка границ**: Проверим, чтобы \(t\) попадало в интервал \([0, 1]\): \[ 0 \leq \frac{x_0 + ax_0^2 - 3}{6} \leq 1 \] 9. **Условия для \(a\)**: Для \(t = 0\): \[ x_0 + ax_0^2 - 3 = 0 \] \[ ax_0^2 + x_0 - 3 = 0 \] Для \(t = 1\): \[ x_0 + ax_0^2 - 3 = 6 \] \[ ax_0^2 + x_0 - 9 = 0 \] 10. **Решение квадратных уравнений**: \[ ax_0^2 + x_0 - 3 = 0 \] \[ ax_0^2 + x_0 - 9 = 0 \] 11. **Определение \(a\)**: Решим эти уравнения для \(x_0\) и найдем \(a\). 12. **Проверка условий**: Проверим, чтобы точка \(M(3;0)\) была ближайшей к графику \(y = ax^2\). Ответ:
Значение \(a\), при котором точка \(M(3;0)\) является ближайшей к графику функции \(y = ax^2\) среди всех точек отрезка \([M, N]\), можно найти, решив уравнения и проверив условия.

Ответ: (-\infty ;0]\cup \left [ \frac{1}{4};+\infty \right )

Решение №13632: Для решения задачи о нахождении значения \(\alpha\) на отрезке \([5; 9]\), при котором площадь треугольника, ограниченного касательной к функции \(y = \frac{1}{x^2}\), осью абсцисс и прямой \(x = 4\), является наибольшей, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \(y = \frac{1}{x^2}\):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{2}{x^3} \]
2. Найти уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой \(\alpha\). Уравнение касательной в точке \((\alpha, \frac{1}{\alpha^2})\) имеет вид:
\[ y - \frac{1}{\alpha^2} = -\frac{2}{\alpha^3}(x - \alpha) \]
3. Найти точку пересечения касательной с осью абсцисс (где \(y = 0\)):
\[ 0 - \frac{1}{\alpha^2} = -\frac{2}{\alpha^3}(x - \alpha) \] \[ \frac{1}{\alpha^2} = \frac{2}{\alpha^3}(x - \alpha) \] \[ \alpha = 2(x - \alpha) \] \[ \alpha = 2x - 2\alpha \] \[ 3\alpha = 2x \] \[ x = \frac{3\alpha}{2} \]
4. Найти точку пересечения касательной с прямой \(x = 4\):
\[ y - \frac{1}{\alpha^2} = -\frac{2}{\alpha^3}(4 - \alpha) \] \[ y = \frac{1}{\alpha^2} - \frac{2}{\alpha^3}(4 - \alpha) \] \[ y = \frac{1}{\alpha^2} - \frac{8}{\alpha^3} + \frac{2}{\alpha^2} \] \[ y = \frac{3}{\alpha^2} - \frac{8}{\alpha^3} \]
5. Найти площадь треугольника, ограниченного касательной, осью абсцисс и прямой \(x = 4\). Площадь треугольника равна:
\[ S = \frac{1}{2} \left| \frac{3\alpha}{2} - 4 \right| \left| \frac{3}{\alpha^2} - \frac{8}{\alpha^3} \right| \]
6. Выразить площадь \(S\) через \(\alpha\) и найти максимальное значение:
\[ S = \frac{1}{2} \left| \frac{3\alpha}{2} - 4 \right| \left| \frac{3}{\alpha^2} - \frac{8}{\alpha^3} \right| \] \[ S = \frac{1}{2} \left| \frac{3\alpha - 8}{2} \right| \left| \frac{3\alpha - 8}{\alpha^3} \right| \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot \frac{|3\alpha - 8|}{2} \cdot \frac{|3\alpha - 8|}{\alpha^3} \] \[ S = \frac{(3\alpha - 8)^2}{4\alpha^3} \]
7. Найти критические точки функции \(S(\alpha)\):
\[ S'(\alpha) = \frac{d}{d\alpha} \left( \frac{(3\alpha - 8)^2}{4\alpha^3} \right) \] \[ S'(\alpha) = \frac{2(3\alpha - 8) \cdot 3 \cdot 4\alpha^3 - (3\alpha - 8)^2 \cdot 12\alpha^2}{16\alpha^6} \] \[ S'(\alpha) = \frac{6(3\alpha - 8) \cdot 4\alpha^3 - 12(3\alpha - 8)^2 \cdot \alpha^2}{16\alpha^6} \] \[ S'(\alpha) = \frac{6(3\alpha - 8)(4\alpha^3 - 2(3\alpha - 8)\alpha^2)}{16\alpha^6} \] \[ S'(\alpha) = \frac{6(3\alpha - 8)(4\alpha^3 - 6\alpha^3 + 16\alpha^2)}{16\alpha^6} \] \[ S'(\alpha) = \frac{6(3\alpha - 8)(-2\alpha^3 + 16\alpha^2)}{16\alpha^6} \] \[ S'(\alpha) = \frac{3(3\alpha - 8)(-2\alpha^3 + 16\alpha^2)}{8\alpha^6} \] \[ S'(\alpha) = \frac{3(3\alpha - 8)(-2\alpha + 16)}{8\alpha^4} \] \[ S'(\alpha) = \frac{3(3\alpha - 8)(16 - 2\alpha)}{8\alpha^4} \] \[ S'(\alpha) = \frac{3(3\alpha - 8)(2\alpha - 16)}{8\alpha^4} \]
8. Решить уравнение \(S'(\alpha) = 0\):
\[ \frac{3(3\alpha - 8)(2\alpha - 16)}{8\alpha^4} = 0 \] \[ 3(3\alpha - 8)(2\alpha - 16) = 0 \] \[ 3\alpha - 8 = 0 \quad \text{или} \quad 2\alpha - 16 = 0 \] \[ \alpha = \frac{8}{3} \quad \text{или} \quad \alpha = 8 \]
9. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([5; 9]\):
\[ \alpha = \frac{8}{3} \quad \text{не попадает в отрезок} \quad [5; 9] \] \[ \alpha = 8 \quad \text{попадает в отрезок} \quad [5; 9] \]
10. Вычислить значение функции \(S(\alpha)\) в критической точке \(\alpha = 8\):
\[ S(8) = \frac{(3 \cdot 8 - 8)^2}{4 \cdot 8^3} \] \[ S(8) = \frac{(24 - 8)^2}{4 \cdot 512} \] \[ S(8) = \frac{16^2}{2048} \] \[ S(8) = \frac{256}{2048} \] \[ S(8) = \frac{1}{8} \]

Ответ: 8

Решение №13634: Для решения задачи о нахождении абсциссы вершины \( B \), при которой площадь треугольника \( ABC \) будет наибольшей, выполним следующие шаги:

1. Определим координаты вершин треугольника \( A \), \( B \) и \( C \):
2. Вершина \( A \) совпадает с началом координат, то есть \( A(0, 0) \).
3. Вершина \( B \) лежит на параболе \( y = 3x^2 - 10x + 2 \), то есть \( B(x_B, y_B) \), где \( y_B = 3x_B^2 - 10x_B + 2 \).
4. Вершина \( C \) лежит на параболе \( y = -2x^2 + 5x - 10 \) и имеет ту же абсциссу, что и \( B \), то есть \( C(x_B, y_C) \), где \( y_C = -2x_B^2 + 5x_B - 10 \).
5. Найдем высоту треугольника \( ABC \). Высота \( h \) треугольника равна разности ординат точек \( B \) и \( C \):
\[ h = y_B - y_C = (3x_B^2 - 10x_B + 2) - (-2x_B^2 + 5x_B - 10) \] \[ h = 3x_B^2 - 10x_B + 2 + 2x_B^2 - 5x_B + 10 \] \[ h = 5x_B^2 - 15x_B + 12 \]
6. Площадь треугольника \( ABC \) равна:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} \] Основание треугольника \( ABC \) равно абсциссе точки \( B \), то есть \( x_B \). \[ S = \frac{1}{2} \cdot x_B \cdot (5x_B^2 - 15x_B + 12) \] \[ S = \frac{5}{2} x_B^3 - \frac{15}{2} x_B^2 + 6x_B \]
7. Найдем производную функции \( S \) для нахождения критических точек:
\[ S' = \frac{d}{dx_B} \left( \frac{5}{2} x_B^3 - \frac{15}{2} x_B^2 + 6x_B \right) \] \[ S' = \frac{15}{2} x_B^2 - 15x_B + 6 \]
8. Решим уравнение \( S' = 0 \):
\[ \frac{15}{2} x_B^2 - 15x_B + 6 = 0 \] Умножим все члены уравнения на 2 для упрощения: \[ 15x_B^2 - 30x_B + 12 = 0 \]
9. Используем формулу для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[ x_B = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 15 \), \( b = -30 \), \( c = 12 \): \[ x_B = \frac{30 \pm \sqrt{(-30)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 12}}{2 \cdot 15} \] \[ x_B = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 720}}{30} \] \[ x_B = \frac{30 \pm \sqrt{180}}{30} \] \[ x_B = \frac{30 \pm 6\sqrt{5}}{30} \] \[ x_B = 1 \pm \frac{\sqrt{5}}{5} \]
10. Получаем два корня:
\[ x_{B1} = 1 + \frac{\sqrt{5}}{5} \] \[ x_{B2} = 1 - \frac{\sqrt{5}}{5} \]
11. Проверим, какие из критических точек попадают в отрезок \(\left [ \frac{3}{5}; \frac{3}{2} \right ]\):
\[ \frac{3}{5} \approx 0.6 \quad \text{и} \quad \frac{3}{2} = 1.5 \] \[ 1 + \frac{\sqrt{5}}{5} \approx 1.447 \quad \text{и} \quad 1 - \frac{\sqrt{5}}{5} \approx 0.553 \] Точка \( x_{B2} = 1 - \frac{\sqrt{5}}{5} \approx 0.553 \) попадает в отрезок \(\left [ \frac{3}{5}; \frac{3}{2} \right ]\).

Ответ: 0.6

Решение №35795: Зарплата \(x\) рабочих и бригадира равна \(f(x)=2000+450x\). По условию \(f(x)\leq 30000\), то есть \(x\leq 62\frac{2}{9}\). Линейная функция \(y=2000+450x\) — возрастающая, поэтому своё наибольшее значение она принимает на правом конце промежутка. Но по условию \(x\) — число натуральное, поэтому наибольшее значение будет при \(x=62\), при этом наибольшее значение будет равно \(f(62)=29900\). Подрядчик может потратить на зарплату не более 29900 рублей. Ответ: 29900 рублей.

Ответ: 29900

Решение №35796: Согласно условию должно выполняться неравенство \(pq\geq 10800\), то есть \((450-3p)p\geq 10800\). Сократив обе части неравенства на 3 и раскрыв скобки, получим: \(150p-p^{2}\geq 3600\); \(p^{2}-150p+3600\leq 0\). Найдём корни уравнения \(p^{2}-150p+3600=0\): \(p_{1, 2}=\frac{150\pm \sqrt{22500-14400}}{2}=\frac{150\pm \sqrt{8100}}{2}=\frac{150\pm 90}{2}\). Неравенство примет вид \(p_{1}=30\), \(p_{2}=120\). Решением рассматриваемого неравенства (см. рис. ниже) будет отрезок \([30; 120]\), и потому наименьшее подходящее значение \(p\) равно 30. Ответ: 30.

Ответ: 30

Решение №35797: По условию выручка за месяц равна \(r=qp=(280-2p)p\). Графиком квадратичной функции \(r=-2p^{2}+280p\) является парабола, направленная ветвями вниз. Следовательно, эта функция принимает наибольшее значение в точке \(p=\frac{-280}{2\cdot (-2)}=70\). При цене 70 тыс. рублей месячная выручка \(r(p)\) будет равна \(r(70)=-2\cdot 70^{2}+280\cdot 70=9800\) (тыс. рублей). Ответ: 70 тыс. рублей, 9800 тыс. рублей.

Ответ: 70; 9800

Решение №35798: По условию прибыль \(P(x)\) от продажи \(x\) тысяч пар носков в месяц находится по формуле \(P(x)=cx-(x^{2}+6x+7)=-x^{2}+(c-6)x-7\). Наибольшее значение квадратичная функция принимает при \(x=\frac{c-6}{2}\). \(P\left (\frac{c-6}{2}\right )=-\left (\frac{c-6}{2}\right )^{2}+(c-6)\frac{c-6}{2}-7=\frac{(c-6)^{2}}{4}-7\). Так как надо окупить затраты не более чем за 32 месяца, то \(32\left (\frac{(c-6)^{2}}{4}-7\right ) \geq 288\), \(\frac{(c-6)^{2}}{4}-7\geq 9\), \((c-6)^{2}\geq 64\). Так как \(c-6>0\), то \(c-6\geq 8\), \(c\geq 14\). Наименьшее значение \(c\) равно 14. Ответ: 14.

Ответ: 14

Решение №35799: 1. По условию на производство одного центнера печенья первого вида в день потребуется \(\frac{1}{60}\) часть мощности всего оборудования, а на производство одного центнера печенья второго вида в день потребуется \(\frac{1}{60}\) часть мощности всего оборудования. 2. Пусть за день производится \(x\) центнеров печенья первого вида, и \(y\) центнеров — второго вида. Так как по условию используется всё оборудование, то \(\frac{x}{60}+\frac{y}{85}=1\). Отсюда \(17x+12y=1020\), \(x= \frac{1020-12y}{17}\). По условию \(x\geq 6\), поэтому \(\frac{1020-12y}{17}\geq 6\), \(y\leq \frac{918}{12}=\frac{153}{2}\). 3. Прибыль предприятия за день составляет \(5000x+6000y\). Выразим её через \(y\): \(5000x+6000y=5000\cdot \frac{1020-12y}{17}+6000y=300000+\frac{42000y}{17}=S(y)\). \(S(y)\) — линейная возрастающая функция, поэтому принимает наибольшее значение при наибольшем значении \(y\), равном \(\frac{153}{2}\). \(S\left (\frac{153}{2}\right )=300000+\frac{42000}{17}\cdot \frac{153}{2}=300000+21000\cdot 9=489000\). Ответ: 489000.

Ответ: 489000

Решение №35800: Пусть \(a\) и \(b\) соответственно — число рабочих первой и второй шахт, которые добывают алюминий. Тогда первая шахта добывает в день \(a\cdot 5\cdot 2\) кг алюминия и \((100-a)\cdot 5\cdot 3\) кг никеля. Вторая шахта в день добывает \(6\cdot 5\cdot 1,5\) кг алюминия и \((192-b)\cdot 5\cdot 0,5\) кг никеля. Обе шахты добывают в день \(a\cdot 5\cdot 2+b\cdot 5\cdot 1,5=10a+7,5b\) кг алюминия и \((100-a)\cdot 5\cdot 3+(192-b)\cdot 5\cdot 0,5=1980-15a-2,5b\) кг никеля. 2. По условию задачи для производства сплава масса алюминия должна относиться к массе никеля, как 2 к 1. Поэтому \(10a+7,5b=2\cdot (1980-15a-2,5b)\), \(10a+7,5b=3960-30a-5b\), \(40a=3960-12,5b\), \(a=99-\frac{5}{16}b\). 3. Выразим через \(b\) массу алюминия, поступившего на завод: \(10a+7,5b=990-3,125b+7,5b=990+4,375b=f(b)\. \(f(b)\) — линейная возрастающая функция, её наибольшее значение получается при наибольшем значении \(b\), равном 192. \(f(192)=990+4,375\cdot 192=990+840=1830\) кг. По условию масса никеля в два раза меньше и составляет 915 кг. Значит, масса сплава равна \(1830+915=2745\) кг. Ответ: 2745 кг.

Ответ: 2745

Решение №35801: Пусть \(x\) и \(y\) — количество часов, которое затрачивают на первой и второй шахтах на добычу алюминия, соответственно. Тогда \(500-x\) и \(960-y\) — количество часов, которое затрачивают на первой и второй шахтах на добычу никеля, соответственно. Первая шахта добывает в день \(2x\) кг алюминия и \((500-x)\cdot З\) кг никеля. Вторая шахта в день добывает \(1,5y\) кг алюминия и \((960-y)\cdot 0,5\) кг никеля. Обе шахты добывают в день \(2x+1,5y\) кг алюминия и \((500-x)\cdot 3+(960-y)\cdot 0,5\) кг никеля. 2. По условию задачи для производства сплава масса алюминия должна относиться к массе никеля, как 2 к 1. Поэтому \(2x+1,5y=2\cdot ((500-x)\cdot 3+(960-y)\cdot 0,5)\), \(2x+1,5y=3960-6x-y\), \(8x=3960-2,5y\), \(x=495-\frac{5}{16}y\). 3. Выразим через \(y\) массу алюминия, поступившего на завод: \(2x+1,5y=990-\frac{5}{8}y+\frac{12}{8}y=990+0,875y=f(y)\). \(f(y)\) — линейная возрастающая функция, её наибольшее значение получается при наибольшем значении \(y\), равном 960. \(f(960)=990+0,875\cdot 960=990+840=1830\) кг. По условию масса никеля в два раза меньше и составляет 915 кг. Значит, масса сплава равна \(1830+915=2745\) кг. Ответ: 2745 кг.

Ответ: 2745

Решение №35802: Пусть \(x\) и \(y\) — количество часов, которое затрачивают на первой и второй шахтах на добычу алюминия, соответственно. Тогда \(1458-x\) и \(900-y\) — количество часов, которое затрачивают на первой и второй шахтах на добычу никеля, соответственно. Тогда первая шахта добывает \(4x\) кг алюминия и \((1458-x)\cdot 3\) кг никеля. Вторая шахта в день добывает \(\sqrt{y}\) кг алюминия и \(\sqrt{900-y}\) кг никеля. А обе шахты добывают в день \(4x+\sqrt{y}\) кг алюминия и \((1458-x)\cdot 3+\sqrt{900-y}\) кг никеля. 2. По условию задачи для производства сплава масса алюминия должна относиться к массе никеля, как 3 к 2. Поэтому \(2(4x+\sqrt{y})=3((1458-x)\cdot 3+\sqrt{900-y})\), \(8x+2\sqrt{y}=13122-9x+3\sqrt{900-y}\), \(x=\frac{13122-2\sqrt{y}+3\sqrt{900-y}}{17}\) 3. Выразим через у массу алюминия, поступившего на завод: \(4x+\sqrt{y}=\frac{52488-8\sqrt{y}+12\sqrt{900-y}+17\sqrt{y}}{17}=\frac{52488+9\sqrt{y}+12\sqrt{900-y}}{17}=f(y)\). Найдём наибольшее значение \(f(y)\) с помощью производной. \(f'(y)=\frac{\frac{9}{2\sqrt{y}}-\frac{12}{\sqrt{900-y}}}{17\) \(f'(y)=0\), если \(\frac{3}{\sqrt{y}}=\frac{4}{\sqrt{900-y}}\), \(y=324\). \(f'(y)>0\) при \(y<324\) и \(f'(y)<0\) при \(y>324\), поэтому \(f(324)\) — наибольшее значение функции. \(f(324)=\frac{52488+162+288}{17}=3114\). Масса сплава равна \(\frac{5}{3}f(324)=5190) кг. Ответ: 5190 кг

Ответ: 5190