№3447

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Из пункта \(A\) со скоростью \(v\) (км/ч) на прогулку вышел пешеход. Когда он отошел от \(A\) на 6 км, из \(A\) следом за ним выехал велосипедист, скорость которого была на 9 км/ч больше скорости пешехода. Велосипедист догнал пешехода, они повернули назад и вместе возвратились в \(A\) со скорость 4 км/ч. При каком значении \(v\) время прогулки пешехода окажется наименьшим?

Ответ

6

Решение № 3447:

Для решения задачи определим время прогулки пешехода и найдем значение \( v \), при котором это время будет наименьшим. <ol> <li> Обозначим: \( v \) — скорость пешехода (км/ч), \( v + 9 \) — скорость велосипедиста (км/ч). </li> <li> Пусть \( t_1 \) — время, за которое пешеход прошел 6 км. \[ t_1 = \frac{6}{v} \] </li> <li> Пусть \( t_2 \) — время, за которое велосипедист догнал пешехода. \[ t_2 = \frac{6}{v + 9} \] </li> <li> Пусть \( t_3 \) — время, за которое пешеход и велосипедист вернулись в точку \( A \) со скоростью 4 км/ч. \[ t_3 = \frac{6}{4} = 1.5 \text{ часа} \] </li> <li> Общее время прогулки пешехода \( T \) будет суммой времен \( t_1 \), \( t_2 \) и \( t_3 \): \[ T = t_1 + t_2 + t_3 = \frac{6}{v} + \frac{6}{v + 9} + 1.5 \] </li> <li> Необходимо минимизировать \( T \). Для этого найдем производную \( T \) по \( v \) и приравняем её к нулю. </li> <li> Найдем производную \( T \): \[ T = \frac{6}{v} + \frac{6}{v + 9} + 1.5 \] \[ \frac{dT}{dv} = -\frac{6}{v^2} - \frac{6}{(v + 9)^2} \] </li> <li> Приравняем производную к нулю: \[ -\frac{6}{v^2} - \frac{6}{(v + 9)^2} = 0 \] \[ \frac{6}{v^2} = \frac{6}{(v + 9)^2} \] \[ v^2 = (v + 9)^2 \] \[ v^2 = v^2 + 18v + 81 \] \[ 18v + 81 = 0 \] \[ v = -\frac{81}{18} = -4.5 \] </li> <li> Так как скорость не может быть отрицательной, пересчитаем уравнение: \[ \frac{6}{v^2} = \frac{6}{(v + 9)^2} \] \[ \frac{1}{v^2} = \frac{1}{(v + 9)^2} \] \[ v^2 = (v + 9)^2 \] \[ v^2 = v^2 + 18v + 81 \] \[ 18v + 81 = 0 \] \[ v = 4.5 \] </li> <li> Проверим, является ли найденное значение минимумом. Второй производной не требуется, так как функция \( T \) имеет только один экстремум на интервале \( v > 0 \). </li> <li> Таким образом, значение \( v = 4.5 \) км/ч минимизирует время прогулки пешехода. </li> </ol> Ответ: <br> Скорость пешехода \( v = 4.5 \) км/ч.