№13620

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Турист идет из пункта \(A\), находящегося на шоссе, в пункт \(Б\), расположенный в 8 км от шоссе. Расстояние от \(A\) до \(Б\) по прямой равно 17 км. На каком расстоянии от \(A\) туристу следует свернуть с шоссе, чтобы в кратчайшее время прийти в пункт \(Б\), если скорость туриста по шоссе равна 5 км/ч, а по бездорожью 3 км/ч?

Ответ

В 9 км от \(А\)

Решение № 13618:

Для решения задачи о туристе, который идет из пункта \(A\) в пункт \(Б\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Определить переменные и параметры задачи: </li> \[ \begin{aligned} &A \text{ - начальная точка на шоссе} \\ &B \text{ - конечная точка, находящаяся в 8 км от шоссе} \\ &AB = 17 \text{ км - расстояние по прямой} \\ &v_{\text{шоссе}} = 5 \text{ км/ч - скорость по шоссе} \\ &v_{\text{бездорожье}} = 3 \text{ км/ч - скорость по бездорожью} \end{aligned} \] </li> <li> Обозначим \(x\) - расстояние, пройденное по шоссе до точки поворота, и \(y\) - расстояние, пройденное по бездорожью. </li> <li> Используем теорему Пифагора для нахождения \(y\): </li> \[ y = \sqrt{8^2 + (17 - x)^2} \] </li> <li> Выразим общее время \(T\) в пути как сумму времени по шоссе и времени по бездорожью: </li> \[ T = \frac{x}{5} + \frac{\sqrt{8^2 + (17 - x)^2}}{3} \] </li> <li> Найдем производную функции \(T(x)\) по \(x\): </li> \[ T'(x) = \frac{1}{5} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2(17 - x)(-1)}{2\sqrt{8^2 + (17 - x)^2}} = \frac{1}{5} - \frac{17 - x}{3\sqrt{64 + (17 - x)^2}} \] </li> <li> Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: </li> \[ \frac{1}{5} - \frac{17 - x}{3\sqrt{64 + (17 - x)^2}} = 0 \] </li> <li> Решим уравнение относительно \(x\): </li> \[ \frac{1}{5} = \frac{17 - x}{3\sqrt{64 + (17 - x)^2}} \] </li> <li> Умножим обе стороны на \(3\sqrt{64 + (17 - x)^2}\): </li> \[ 3\sqrt{64 + (17 - x)^2} = 5(17 - x) \] </li> <li> Возведем обе стороны в квадрат: </li> \[ 9(64 + (17 - x)^2) = 25(17 - x)^2 \] </li> <li> Раскроем скобки и упростим уравнение: </li> \[ 576 + 9(17 - x)^2 = 25(17 - x)^2 \] \[ 576 = 16(17 - x)^2 \] \[ (17 - x)^2 = \frac{576}{16} \] \[ (17 - x)^2 = 36 \] \[ 17 - x = \pm 6 \] </li> <li> Решим уравнение: </li> \[ x = 17 - 6 = 11 \quad \text{или} \quad x = 17 + 6 = 23 \] </li> <li> Проверим, какое значение \(x\) имеет смысл в контексте задачи (расстояние по шоссе до точки поворота должно быть меньше 17 км): </li> \[ x = 11 \text{ км} \] </li> <li> Следовательно, туристу следует свернуть с шоссе на расстоянии 11 км от пункта \(A\). </li> </ol> Ответ: <br> Расстояние от \(A\), на котором туристу следует свернуть с шоссе: \( 11 \) км