№7321

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

По двум улицам к перекрестку движутся два автомобиля с постоянными скоростями \(v_{1}=40\) км/ч и \(v_{2}=50\) км/ч. Известно, что в некоторый момент времени автомобили находятся от перекрестка на расстоянии \(s_{1}=2\) км и \(s_{2}=3\) км соответственно. Считая, что улицы пересекаются под прямым углом, определить, через какое время расстояние между автомобилями станет наименьшим.

Ответ

23/410

Решение № 7321:

Для решения задачи определения времени, через которое расстояние между двумя автомобилями станет наименьшим, необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Определить координаты автомобилей в зависимости от времени \( t \). </li> Пусть \( t \) — время, прошедшее с момента, когда автомобили находятся на расстоянии \( s_1 = 2 \) км и \( s_2 = 3 \) км от перекрестка. Тогда координаты автомобилей в зависимости от времени будут: \[ x_1(t) = 2 - 40t \] \[ y_2(t) = 3 - 50t \] </li> <li> Записать выражение для расстояния между автомобилями в зависимости от времени \( t \). </li> Расстояние между автомобилями \( d(t) \) можно найти с помощью теоремы Пифагора: \[ d(t) = \sqrt{(x_1(t))^2 + (y_2(t))^2} \] Подставим координаты: \[ d(t) = \sqrt{(2 - 40t)^2 + (3 - 50t)^2} \] </li> <li> Найти производную функции расстояния \( d(t) \) и приравнять её к нулю для нахождения критических точек. </li> Найдём производную \( d(t) \): \[ d(t) = \sqrt{(2 - 40t)^2 + (3 - 50t)^2} \] \[ d^2(t) = (2 - 40t)^2 + (3 - 50t)^2 \] Производная \( d^2(t) \): \[ \frac{d}{dt}(d^2(t)) = 2(2 - 40t)(-40) + 2(3 - 50t)(-50) \] \[ 2(2 - 40t)(-40) + 2(3 - 50t)(-50) = 0 \] \[ -80(2 - 40t) - 100(3 - 50t) = 0 \] \[ -160 + 3200t - 300 + 5000t = 0 \] \[ 8200t = 460 \] \[ t = \frac{460}{8200} = \frac{23}{410} \approx 0.056 \] </li> <li> Проверить, является ли найденная точка минимумом. </li> Для проверки достаточно рассмотреть значения функции \( d(t) \) до и после найденной точки \( t \approx 0.056 \). Если значения функции увеличиваются по обе стороны от этой точки, то это минимум. </li> <li> Вычислить значение функции расстояния в найденной точке. </li> Подставим \( t \approx 0.056 \) в выражение для расстояния: \[ d(0.056) = \sqrt{(2 - 40 \cdot 0.056)^2 + (3 - 50 \cdot 0.056)^2} \] \[ d(0.056) = \sqrt{(2 - 2.24)^2 + (3 - 2.8)^2} \] \[ d(0.056) = \sqrt{(-0.24)^2 + (0.2)^2} \] \[ d(0.056) = \sqrt{0.0576 + 0.04} \] \[ d(0.056) = \sqrt{0.0976} \approx 0.312 \] </li> </ol> Ответ: <br> Расстояние между автомобилями станет наименьшим через \( \approx 0.056 \) часа (или \( \approx 3.36 \) минут), и это расстояние будет \( \approx 0.312 \) км.