№7319

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Автомобиль движется из пункта \(A\) в пункт \(С\). От пункта \(A\) до пункта \(Б\), расположенного между \(A\) и \(С\), он идет со скоростью 48 км/ч. В пункте \(Б\) он уменьшает скорость на \(a\) (км/ч) \((0< a< 48)\) и с этой скоростью проезжает третью часть пути от \(Б\) до \(С\). Оставшуюся часть пути он едет со скоростью, которая на \(2a\) (км/ч) превышает начальную скорость. При каком значении \(a\) автомобиль быстрее всего пройдет путь от \(Б\) до \(С\)?

Ответ

12

Решение № 7319:

Для решения задачи определим, при каком значении \( a \) автомобиль быстрее всего пройдет путь от пункта \( B \) до пункта \( C \). <ol> <li> Обозначим расстояние от \( A \) до \( B \) как \( d \), а от \( B \) до \( C \) как \( D \). </li> <li> Скорость автомобиля на участке от \( A \) до \( B \) равна 48 км/ч. </li> <li> На участке от \( B \) до \( C \) автомобиль сначала уменьшает скорость на \( a \) км/ч и проезжает третью часть пути \( \frac{D}{3} \) со скоростью \( 48 - a \) км/ч. </li> <li> Оставшиеся две трети пути \( \frac{2D}{3} \) автомобиль проезжает со скоростью \( 48 + 2a \) км/ч. </li> <li> Время \( t_1 \), затраченное на прохождение первой трети пути \( \frac{D}{3} \), равно: \[ t_1 = \frac{\frac{D}{3}}{48 - a} = \frac{D}{3(48 - a)} \] </li> <li> Время \( t_2 \), затраченное на прохождение оставшихся двух третей пути \( \frac{2D}{3} \), равно: \[ t_2 = \frac{\frac{2D}{3}}{48 + 2a} = \frac{2D}{3(48 + 2a)} \] </li> <li> Общее время \( t \), затраченное на прохождение всего пути от \( B \) до \( C \), равно: \[ t = t_1 + t_2 = \frac{D}{3(48 - a)} + \frac{2D}{3(48 + 2a)} \] </li> <li> Упростим выражение для общего времени: \[ t = \frac{D}{3} \left( \frac{1}{48 - a} + \frac{2}{48 + 2a} \right) \] </li> <li> Для минимизации времени \( t \) необходимо минимизировать выражение в скобках. Обозначим его как \( f(a) \): \[ f(a) = \frac{1}{48 - a} + \frac{2}{48 + 2a} \] </li> <li> Найдем производную \( f(a) \) и приравняем её к нулю для нахождения критических точек: \[ f'(a) = \frac{d}{da} \left( \frac{1}{48 - a} + \frac{2}{48 + 2a} \right) \] \[ f'(a) = \frac{1}{(48 - a)^2} - \frac{4}{(48 + 2a)^2} \] \[ \frac{1}{(48 - a)^2} = \frac{4}{(48 + 2a)^2} \] </li> <li> Решим уравнение: \[ (48 + 2a)^2 = 4(48 - a)^2 \] \[ 48 + 2a = 2(48 - a) \] \[ 48 + 2a = 96 - 2a \] \[ 4a = 48 \] \[ a = 12 \] </li> <li> Проверим, что \( a = 12 \) действительно минимизирует функцию \( f(a) \). Для этого проверим знак производной \( f'(a) \) слева и справа от \( a = 12 \): \[ f'(a) = \frac{1}{(48 - a)^2} - \frac{4}{(48 + 2a)^2} \] Для \( a < 12 \): \[ f'(a) > 0 \] Для \( a > 12 \): \[ f'(a) < 0 \] Следовательно, \( a = 12 \) является точкой минимума. </li> <li> Таким образом, автомобиль быстрее всего пройдет путь от \( B \) до \( C \), если \( a = 12 \). </li> </ol> Ответ: <br> Значение \( a \), при котором автомобиль быстрее всего пройдет путь от \( B \) до \( C \): \( a = 12 \) км/ч.