№13629

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Точка \(M\) лежит на прямой \(y=1-x\), а точка \(N\) - на параболе \(y=x^{2}-5x+6\). Чему равно наименьшее значение длины отрезка \(MN\)? Ответ умножить на \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Ответ

0.5

Решение № 13627:

Для нахождения наименьшего значения длины отрезка \(MN\), где точка \(M\) лежит на прямой \(y = 1 - x\), а точка \(N\) — на параболе \(y = x^2 - 5x + 6\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции параболы \( y = x^2 - 5x + 6 \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 - 5x + 6) = 2x - 5 \] <li> Найти точки касания прямой \( y = 1 - x \) и параболы \( y = x^2 - 5x + 6 \). Для этого нужно найти точки, где касательная к параболе параллельна прямой \( y = 1 - x \). Угол наклона прямой \( y = 1 - x \) равен \(-1\), следовательно, касательная к параболе должна иметь ту же производную: </li> \[ 2x - 5 = -1 \] <li> Решить уравнение относительно \( x \): </li> \[ 2x - 5 = -1 \implies \] \[ 2x = 4 \implies \] \[ x = 2 \] <li> Найти соответствующее значение \( y \) для \( x = 2 \): </li> \[ y = 2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0 \] <li> Точка касания параболы \( y = x^2 - 5x + 6 \) с касательной, параллельной прямой \( y = 1 - x \), находится в точке \( (2, 0) \). </li> <li> Найти уравнение касательной к параболе в точке \( (2, 0) \). Для этого используем формулу касательной к параболе в точке \( (x_0, y_0) \): </li> \[ y - y_0 = y'(x_0)(x - x_0) \] где \( x_0 = 2 \), \( y_0 = 0 \), \( y'(x_0) = -1 \): \[ y - 0 = -1(x - 2) \implies \] \[ y = -x + 2 \] <li> Найти точку пересечения касательной \( y = -x + 2 \) с прямой \( y = 1 - x \): </li> \[ -x + 2 = 1 - x \implies \] \[ 2 = 1 \quad \text{(неверное уравнение, значит, касательная и прямая параллельны)} \] <li> Так как касательная и прямая параллельны, наименьшее расстояние между точками \( M \) и \( N \) будет перпендикулярным расстоянием от точки \( (2, 0) \) до прямой \( y = 1 - x \). Расстояние от точки \( (x_1, y_1) \) до прямой \( Ax + By + C = 0 \) определяется формулой: </li> \[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] где \( A = 1 \), \( B = 1 \), \( C = -1 \), \( x_1 = 2 \), \( y_1 = 0 \): \[ d = \frac{|1 \cdot 2 + 1 \cdot 0 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|2 - 1|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \] </ol> Ответ: <br> Наименьшее значение длины отрезка \(MN\) равно \( \frac{1}{\sqrt{2}} \).