№35811

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Лысенко, ЕГЭ , 17 задача

Условие

Индивидуальный предприниматель за 288 тысяч рублей приобрёл цех по производству носков. Затраты на изготовление \(x\) тысяч пар носков в месяц составляют \((x^{2}+6x+7)\) тысяч рублей. Если продавать одну пару носков по \(c\) рублей, то прибыль от продажи \(x\) тысяч пар носков в месяц составит \(cx-(x^{2}+6x+7)\) тысяч рублей \((c>6)\). Предприниматель имеет возможность изготавливать и продавать такое количество пар носков, которое обеспечивает наибольшую прибыль. При каком наименьшем значении \(c\) предприниматель окупит затраты на покупку цеха не более чем за 32 месяца?

Ответ

14

Решение № 35798:

По условию прибыль \(P(x)\) от продажи \(x\) тысяч пар носков в месяц находится по формуле \(P(x)=cx-(x^{2}+6x+7)=-x^{2}+(c-6)x-7\). Наибольшее значение квадратичная функция принимает при \(x=\frac{c-6}{2}\). \(P\left (\frac{c-6}{2}\right )=-\left (\frac{c-6}{2}\right )^{2}+(c-6)\frac{c-6}{2}-7=\frac{(c-6)^{2}}{4}-7\). Так как надо окупить затраты не более чем за 32 месяца, то \(32\left (\frac{(c-6)^{2}}{4}-7\right ) \geq 288\), \(\frac{(c-6)^{2}}{4}-7\geq 9\), \((c-6)^{2}\geq 64\). Так как \(c-6>0\), то \(c-6\geq 8\), \(c\geq 14\). Наименьшее значение \(c\) равно 14. Ответ: 14.