№7332

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

К графику функции \(y=\frac{1}{x^{2}}\) в точке, абсцисса \(\alpha \) которой принадлежит отрезку \([5;9]\) проведена касательная.Какова наибольшая площадь \(S\) треугольника, ограниченного этой касательной, осью абсцисс и прямой \( x=4\), является наибольшей?

Ответ

0.125

Решение № 7332:

Для нахождения наибольшей площади треугольника, ограниченного касательной к функции \( y = \frac{1}{x^2} \) в точке с абсциссой \(\alpha\) из отрезка \([5; 9]\), осью абсцисс и прямой \( x = 4 \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y = \frac{1}{x^2} \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{2}{x^3} \] <li> Найти уравнение касательной в точке \( x = \alpha \): </li> \[ y = \frac{1}{\alpha^2} - \frac{2}{\alpha^3}(x - \alpha) \] Упростим уравнение: \[ y = \frac{1}{\alpha^2} - \frac{2}{\alpha^3}x + \frac{2}{\alpha^2} = \frac{3}{\alpha^2} - \frac{2}{\alpha^3}x \] <li> Найти точку пересечения касательной с осью абсцисс (\( y = 0 \)): </li> \[ 0 = \frac{3}{\alpha^2} - \frac{2}{\alpha^3}x \] Решим уравнение относительно \( x \): \[ \frac{3}{\alpha^2} = \frac{2}{\alpha^3}x \implies x = \frac{3\alpha}{2} \] <li> Найти точку пересечения касательной с прямой \( x = 4 \): </li> \[ y = \frac{3}{\alpha^2} - \frac{2}{\alpha^3} \cdot 4 = \frac{3}{\alpha^2} - \frac{8}{\alpha^3} \] Упростим: \[ y = \frac{3\alpha - 8}{\alpha^3} \] <li> Найти площадь треугольника, ограниченного касательной, осью абсцисс и прямой \( x = 4 \): </li> \[ S = \frac{1}{2} \left| \frac{3\alpha}{2} - 4 \right| \left| \frac{3\alpha - 8}{\alpha^3} \right| \] Упростим выражение: \[ S = \frac{1}{2} \left( \frac{3\alpha}{2} - 4 \right) \left( \frac{3\alpha - 8}{\alpha^3} \right) \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot \frac{(3\alpha - 8)^2}{2\alpha^3} \] \[ S = \frac{(3\alpha - 8)^2}{4\alpha^3} \] <li> Найти наибольшее значение функции \( S(\alpha) \) на отрезке \([5; 9]\): </li> \[ S(\alpha) = \frac{(3\alpha - 8)^2}{4\alpha^3} \] Найдем производную \( S'(\alpha) \): \[ S'(\alpha) = \frac{d}{d\alpha} \left( \frac{(3\alpha - 8)^2}{4\alpha^3} \right) \] Используем правило производной частного: \[ S'(\alpha) = \frac{(6\alpha - 16)(3\alpha - 8) \cdot 4\alpha^3 - (3\alpha - 8)^2 \cdot 12\alpha^2}{(4\alpha^3)^2} \] Упростим: \[ S'(\alpha) = \frac{24\alpha^2 - 96\alpha - 12\alpha^2 + 96\alpha}{(4\alpha^3)^2} = \frac{12\alpha^2}{(4\alpha^3)^2} = \frac{3}{\alpha^4} (3\alpha - 8)(2\alpha - 8) \] Найдем критические точки, решив уравнение \( S'(\alpha) = 0 \): \[ (3\alpha - 8)(2\alpha - 8) = 0 \] Корни уравнения: \[ \alpha = \frac{8}{3}, \quad \alpha = 4 \] Критические точки \( \alpha = \frac{8}{3} \) и \( \alpha = 4 \) не попадают в отрезок \([5; 9]\). <li> Проверим значения функции \( S(\alpha) \) на концах отрезка \([5; 9]\): </li> \[ S(5) = \frac{(3 \cdot 5 - 8)^2}{4 \cdot 5^3} = \frac{(15 - 8)^2}{4 \cdot 125} = \frac{49}{500} = 0.098 \] \[ S(9) = \frac{(3 \cdot 9 - 8)^2}{4 \cdot 9^3} = \frac{(27 - 8)^2}{4 \cdot 729} = \frac{361}{2916} \approx 0.1237 \] <li> Сравним полученные значения и определим наибольшее значение функции на отрезке: </li> Наибольшее значение: \( S(9) \approx 0.1237 \) </ol> Ответ: <br> Наибольшая площадь треугольника: \( \approx 0.1237 \)