№7322

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Расстояние между населенными пунктами \(A\) и \(Б\) составляет 36 км. Из \(A\) и \(Б\) идет пешеход со скоростью 6 км/ч. Одновременно из \(Б\) в сторону \(A\) выезжает велосипедист со скоростью \(v\) км/ч, причем \(v\in [10;15]\). После встречи с пешеходом велосипедист еще 20 мин ехал в сторону \(A\), затем повернул и возвратился в \(Б\) . Найти минимальную и максимальную разницу во времени прибытия в \(Б\) пешехода и велосипедиста.

Ответ

{5/6;40/21}

Решение № 7322:

Для нахождения минимальной и максимальной разницы во времени прибытия в \(Б\) пешехода и велосипедиста, необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Определим время встречи пешехода и велосипедиста. Пусть \(t\) — время встречи в часах. </li> <li> Запишем уравнение для нахождения времени встречи: \[ 6t + vt = 36 \] </li> <li> Решим это уравнение относительно \(t\): \[ t = \frac{36}{6 + v} \] </li> <li> Найдем время, которое велосипедист едет после встречи с пешеходом до момента поворота. Велосипедист едет еще 20 минут, что составляет \(\frac{20}{60} = \frac{1}{3}\) часа. </li> <li> Запишем уравнение для нахождения расстояния, которое велосипедист проезжает за это время: \[ \text{Расстояние} = v \cdot \frac{1}{3} \] </li> <li> Найдем время, которое велосипедист тратит на возвращение в \(Б\) после поворота. Это время равно времени, которое он тратит на дорогу до поворота: \[ \text{Время на возвращение} = \frac{2}{3}t \] </li> <li> Теперь найдем общее время, которое велосипедист тратит на путь до \(Б\): \[ \text{Общее время велосипедиста} = t + \frac{2}{3}t = \frac{5}{3}t \] </li> <li> Теперь найдем время, которое пешеход тратит на путь до \(Б\): \[ \text{Время пешехода} = \frac{36}{6} = 6 \text{ часов} \] </li> <li> Найдем разницу во времени прибытия в \(Б\) пешехода и велосипедиста: \[ \text{Разница во времени} = 6 - \frac{5}{3}t \] </li> <li> Подставим выражение для \(t\): \[ \text{Разница во времени} = 6 - \frac{5}{3} \cdot \frac{36}{6 + v} = 6 - \frac{60}{6 + v} \] </li> <li> Теперь найдем минимальную и максимальную разницу во времени, подставив граничные значения \(v\): </li> <li> Для \(v = 10\): \[ \text{Разница во времени} = 6 - \frac{60}{6 + 10} = 6 - \frac{60}{16} = 6 - 3.75 = 2.25 \text{ часа} \] </li> <li> Для \(v = 15\): \[ \text{Разница во времени} = 6 - \frac{60}{6 + 15} = 6 - \frac{60}{21} = 6 - \frac{20}{7} = 6 - 2.857 = 3.143 \text{ часа} \] </li> <li> Сравним полученные значения: </li> <li> Минимальная разница во времени: \(2.25\) часа (при \(v = 10\)) </li> <li> Максимальная разница во времени: \(3.143\) часа (при \(v = 15\)) </li> </ol> Ответ: <br> Минимальная разница во времени: \(2.25\) часа <br> Максимальная разница во времени: \(3.143\) часа