№13634

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

К графику функции \(y=\frac{1}{x^{2}}\) в точке, абсцисса \(\alpha \) которой принадлежит отрезку \([5;9]\) проведена касательная. При каком значении \(\alpha \) площадь \(S\) треугольника, ограниченного этой касательной, осью абсцисс и прямой \( x=4\), является наибольшей?

Ответ

8

Решение № 13632:

Для решения задачи о нахождении значения \(\alpha\) на отрезке \([5; 9]\), при котором площадь треугольника, ограниченного касательной к функции \(y = \frac{1}{x^2}\), осью абсцисс и прямой \(x = 4\), является наибольшей, необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \(y = \frac{1}{x^2}\): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{2}{x^3} \] <li> Найти уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой \(\alpha\). Уравнение касательной в точке \((\alpha, \frac{1}{\alpha^2})\) имеет вид: </li> \[ y - \frac{1}{\alpha^2} = -\frac{2}{\alpha^3}(x - \alpha) \] <li> Найти точку пересечения касательной с осью абсцисс (где \(y = 0\)): </li> \[ 0 - \frac{1}{\alpha^2} = -\frac{2}{\alpha^3}(x - \alpha) \] \[ \frac{1}{\alpha^2} = \frac{2}{\alpha^3}(x - \alpha) \] \[ \alpha = 2(x - \alpha) \] \[ \alpha = 2x - 2\alpha \] \[ 3\alpha = 2x \] \[ x = \frac{3\alpha}{2} \] <li> Найти точку пересечения касательной с прямой \(x = 4\): </li> \[ y - \frac{1}{\alpha^2} = -\frac{2}{\alpha^3}(4 - \alpha) \] \[ y = \frac{1}{\alpha^2} - \frac{2}{\alpha^3}(4 - \alpha) \] \[ y = \frac{1}{\alpha^2} - \frac{8}{\alpha^3} + \frac{2}{\alpha^2} \] \[ y = \frac{3}{\alpha^2} - \frac{8}{\alpha^3} \] <li> Найти площадь треугольника, ограниченного касательной, осью абсцисс и прямой \(x = 4\). Площадь треугольника равна: </li> \[ S = \frac{1}{2} \left| \frac{3\alpha}{2} - 4 \right| \left| \frac{3}{\alpha^2} - \frac{8}{\alpha^3} \right| \] <li> Выразить площадь \(S\) через \(\alpha\) и найти максимальное значение: </li> \[ S = \frac{1}{2} \left| \frac{3\alpha}{2} - 4 \right| \left| \frac{3}{\alpha^2} - \frac{8}{\alpha^3} \right| \] \[ S = \frac{1}{2} \left| \frac{3\alpha - 8}{2} \right| \left| \frac{3\alpha - 8}{\alpha^3} \right| \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot \frac{|3\alpha - 8|}{2} \cdot \frac{|3\alpha - 8|}{\alpha^3} \] \[ S = \frac{(3\alpha - 8)^2}{4\alpha^3} \] <li> Найти критические точки функции \(S(\alpha)\): </li> \[ S'(\alpha) = \frac{d}{d\alpha} \left( \frac{(3\alpha - 8)^2}{4\alpha^3} \right) \] \[ S'(\alpha) = \frac{2(3\alpha - 8) \cdot 3 \cdot 4\alpha^3 - (3\alpha - 8)^2 \cdot 12\alpha^2}{16\alpha^6} \] \[ S'(\alpha) = \frac{6(3\alpha - 8) \cdot 4\alpha^3 - 12(3\alpha - 8)^2 \cdot \alpha^2}{16\alpha^6} \] \[ S'(\alpha) = \frac{6(3\alpha - 8)(4\alpha^3 - 2(3\alpha - 8)\alpha^2)}{16\alpha^6} \] \[ S'(\alpha) = \frac{6(3\alpha - 8)(4\alpha^3 - 6\alpha^3 + 16\alpha^2)}{16\alpha^6} \] \[ S'(\alpha) = \frac{6(3\alpha - 8)(-2\alpha^3 + 16\alpha^2)}{16\alpha^6} \] \[ S'(\alpha) = \frac{3(3\alpha - 8)(-2\alpha^3 + 16\alpha^2)}{8\alpha^6} \] \[ S'(\alpha) = \frac{3(3\alpha - 8)(-2\alpha + 16)}{8\alpha^4} \] \[ S'(\alpha) = \frac{3(3\alpha - 8)(16 - 2\alpha)}{8\alpha^4} \] \[ S'(\alpha) = \frac{3(3\alpha - 8)(2\alpha - 16)}{8\alpha^4} \] <li> Решить уравнение \(S'(\alpha) = 0\): </li> \[ \frac{3(3\alpha - 8)(2\alpha - 16)}{8\alpha^4} = 0 \] \[ 3(3\alpha - 8)(2\alpha - 16) = 0 \] \[ 3\alpha - 8 = 0 \quad \text{или} \quad 2\alpha - 16 = 0 \] \[ \alpha = \frac{8}{3} \quad \text{или} \quad \alpha = 8 \] <li> Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([5; 9]\): </li> \[ \alpha = \frac{8}{3} \quad \text{не попадает в отрезок} \quad [5; 9] \] \[ \alpha = 8 \quad \text{попадает в отрезок} \quad [5; 9] \] <li> Вычислить значение функции \(S(\alpha)\) в критической точке \(\alpha = 8\): </li> \[ S(8) = \frac{(3 \cdot 8 - 8)^2}{4 \cdot 8^3} \] \[ S(8) = \frac{(24 - 8)^2}{4 \cdot 512} \] \[ S(8) = \frac{16^2}{2048} \] \[ S(8) = \frac{256}{2048} \] \[ S(8) = \frac{1}{8} \] </ol> Ответ: <br> Значение \(\alpha\), при котором площадь треугольника является наибольшей: \( \alpha = 8 \)