№7329

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Точка \(А\) лежит на графике функции \(y=x^{2}-2x\), а точка \(B\) - на графике функции \(y=-x^{2}+14x-50\). Чему равно наименьшее значение длины отрезка \(АB\)?

Ответ

2\sqrt{5}

Решение № 7329:

Для нахождения наименьшего значения длины отрезка \( AB \), где точка \( A \) лежит на графике функции \( y = x^2 - 2x \), а точка \( B \) — на графике функции \( y = -x^2 + 14x - 50 \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Представим точки \( A \) и \( B \) в виде \( A(x_1, y_1) \) и \( B(x_2, y_2) \). </li> <li> Найдем выражение для квадрата расстояния между точками \( A \) и \( B \): \[ d^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 \] </li> <li> Подставим выражения для \( y_1 \) и \( y_2 \) из уравнений функций: \[ y_1 = x_1^2 - 2x_1 \] \[ y_2 = -x_2^2 + 14x_2 - 50 \] </li> <li> Подставим эти выражения в формулу для квадрата расстояния: \[ d^2 = (x_1 - x_2)^2 + (x_1^2 - 2x_1 - (-x_2^2 + 14x_2 - 50))^2 \] \[ = (x_1 - x_2)^2 + (x_1^2 - 2x_1 + x_2^2 - 14x_2 + 50)^2 \] </li> <li> Упростим выражение: \[ d^2 = (x_1 - x_2)^2 + (x_1^2 + x_2^2 - 2x_1 - 14x_2 + 50)^2 \] </li> <li> Для минимизации расстояния, рассмотрим случай, когда \( x_1 = x_2 = x \). В этом случае \( A \) и \( B \) будут лежать на вертикальной линии, и расстояние между ними будет минимальным. </li> <li> Теперь найдем \( y_1 \) и \( y_2 \) для \( x_1 = x_2 = x \): \[ y_1 = x^2 - 2x \] \[ y_2 = -x^2 + 14x - 50 \] </li> <li> Расстояние между точками \( A \) и \( B \) будет: \[ d = |y_1 - y_2| = |x^2 - 2x - (-x^2 + 14x - 50)| \] \[ = |2x^2 - 16x + 50| \] </li> <li> Для минимизации \( d \), найдем минимум функции \( f(x) = 2x^2 - 16x + 50 \). Найдем производную функции \( f(x) \): \[ f'(x) = 4x - 16 \] </li> <li> Найдем критические точки, решив уравнение \( f'(x) = 0 \): \[ 4x - 16 = 0 \] \[ 4x = 16 \] \[ x = 4 \] </li> <li> Подставим \( x = 4 \) в \( f(x) \): \[ f(4) = 2(4)^2 - 16(4) + 50 \] \[ = 2 \cdot 16 - 64 + 50 \] \[ = 32 - 64 + 50 \] \[ = 18 \] </li> <li> Таким образом, минимальное значение функции \( f(x) \) равно 18, и минимальное расстояние между точками \( A \) и \( B \) равно: \[ d = \sqrt{18} \] </li> </ol> Ответ: <br> Наименьшее значение длины отрезка \( AB \) равно \( \sqrt{18} \).