№7323

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Стоимость эксплуатации катера, плывущего со скоростью \(v\) км/ч, составляет \((90+0,4v^{2})\) руб. за 1ч. С какой скоростью должен плыть катер, чтобы стоимость прохода 1 км пути была наименьшей?

Ответ

15

Решение № 7323:

Для нахождения скорости катера, при которой стоимость прохода 1 км пути будет наименьшей, необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Записать функцию затрат на прохождение 1 км пути: </li> \[ C(v) = \frac{90 + 0.4v^2}{v} \] <li> Упростить функцию затрат: </li> \[ C(v) = \frac{90}{v} + 0.4v \] <li> Найти производную функции затрат \( C(v) \): </li> \[ C'(v) = \frac{d}{dv}\left(\frac{90}{v} + 0.4v\right) \] \[ C'(v) = -\frac{90}{v^2} + 0.4 \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( C'(v) = 0 \): </li> \[ -\frac{90}{v^2} + 0.4 = 0 \] \[ \frac{90}{v^2} = 0.4 \] \[ v^2 = \frac{90}{0.4} \] \[ v^2 = 225 \] \[ v = 15 \quad (\text{скорость должна быть положительной}) \] <li> Проверить, является ли найденная точка точкой минимума: </li> \[ C'(v) = \frac{d}{dv}\left(-\frac{90}{v^2} + 0.4\right) \] \[ C'(v) = \frac{180}{v^3} \] \[ C'(15) = \frac{180}{15^3} > 0 \] Поскольку вторая производная положительна, точка \( v = 15 \) является точкой минимума. </li> <li> Вычислить минимальную стоимость прохода 1 км пути: </li> \[ C(15) = \frac{90}{15} + 0.4 \cdot 15 \] \[ C(15) = 6 + 6 = 12 \] </li> </ol> Ответ: <br> Скорость катера, при которой стоимость прохода 1 км пути будет наименьшей: \( 15 \) км/ч <br> Минимальная стоимость прохода 1 км пути: \( 12 \) руб.