№13636

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

На координатной плоскости рассматривается треугольник \(ABC\), у которого вершина \(A\) совпадает с началом координат, вершина \(B\) лежит на параболе \(y=3x^{2}-10x+2\), а вершина \(С\) - на параболе \(y=-2x^{2}+5x-10\). При этом сторона \(BC\) треугольника параллельна оси ординат, а абсцисса вершины \(B\) принадлежит отрезку \(\left [ \frac{3}{5};\frac{3}{2} \right ]\). Какое значение должна иметь абсцисса вершины \(B\), чтобы площадь треугольника \(ABC\) была наибольшей?

Ответ

0.6

Решение № 13634:

Для решения задачи о нахождении абсциссы вершины \( B \), при которой площадь треугольника \( ABC \) будет наибольшей, выполним следующие шаги: <ol> <li> Определим координаты вершин треугольника \( A \), \( B \) и \( C \): </li> <li> Вершина \( A \) совпадает с началом координат, то есть \( A(0, 0) \). </li> <li> Вершина \( B \) лежит на параболе \( y = 3x^2 - 10x + 2 \), то есть \( B(x_B, y_B) \), где \( y_B = 3x_B^2 - 10x_B + 2 \). </li> <li> Вершина \( C \) лежит на параболе \( y = -2x^2 + 5x - 10 \) и имеет ту же абсциссу, что и \( B \), то есть \( C(x_B, y_C) \), где \( y_C = -2x_B^2 + 5x_B - 10 \). </li> <li> Найдем высоту треугольника \( ABC \). Высота \( h \) треугольника равна разности ординат точек \( B \) и \( C \): </li> \[ h = y_B - y_C = (3x_B^2 - 10x_B + 2) - (-2x_B^2 + 5x_B - 10) \] \[ h = 3x_B^2 - 10x_B + 2 + 2x_B^2 - 5x_B + 10 \] \[ h = 5x_B^2 - 15x_B + 12 \] <li> Площадь треугольника \( ABC \) равна: </li> \[ S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} \] Основание треугольника \( ABC \) равно абсциссе точки \( B \), то есть \( x_B \). </li> \[ S = \frac{1}{2} \cdot x_B \cdot (5x_B^2 - 15x_B + 12) \] \[ S = \frac{5}{2} x_B^3 - \frac{15}{2} x_B^2 + 6x_B \] <li> Найдем производную функции \( S \) для нахождения критических точек: </li> \[ S' = \frac{d}{dx_B} \left( \frac{5}{2} x_B^3 - \frac{15}{2} x_B^2 + 6x_B \right) \] \[ S' = \frac{15}{2} x_B^2 - 15x_B + 6 \] <li> Решим уравнение \( S' = 0 \): </li> \[ \frac{15}{2} x_B^2 - 15x_B + 6 = 0 \] Умножим все члены уравнения на 2 для упрощения: \[ 15x_B^2 - 30x_B + 12 = 0 \] <li> Используем формулу для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \): </li> \[ x_B = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 15 \), \( b = -30 \), \( c = 12 \): \[ x_B = \frac{30 \pm \sqrt{(-30)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 12}}{2 \cdot 15} \] \[ x_B = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 720}}{30} \] \[ x_B = \frac{30 \pm \sqrt{180}}{30} \] \[ x_B = \frac{30 \pm 6\sqrt{5}}{30} \] \[ x_B = 1 \pm \frac{\sqrt{5}}{5} \] <li> Получаем два корня: </li> \[ x_{B1} = 1 + \frac{\sqrt{5}}{5} \] \[ x_{B2} = 1 - \frac{\sqrt{5}}{5} \] <li> Проверим, какие из критических точек попадают в отрезок \(\left [ \frac{3}{5}; \frac{3}{2} \right ]\): </li> \[ \frac{3}{5} \approx 0.6 \quad \text{и} \quad \frac{3}{2} = 1.5 \] \[ 1 + \frac{\sqrt{5}}{5} \approx 1.447 \quad \text{и} \quad 1 - \frac{\sqrt{5}}{5} \approx 0.553 \] Точка \( x_{B2} = 1 - \frac{\sqrt{5}}{5} \approx 0.553 \) попадает в отрезок \(\left [ \frac{3}{5}; \frac{3}{2} \right ]\). </li> </ol> Ответ: <br> Абсцисса вершины \( B \), при которой площадь треугольника \( ABC \) будет наибольшей, равна \( 1 - \frac{\sqrt{5}}{5} \).