№35815

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Лысенко, ЕГЭ , 17 задача

Условие

В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 162 рабочих, каждый из которых готов трудиться 9 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 4 кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте трудится 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 9 часов в день, и для получения \(x\) кг алюминия надо трудиться \(x^{2}\) часов, а для получения \(y\) кг никеля надо трудиться \(y^{2}\) часов. Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 3 кг алюминия приходится 2 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Найдите наибольшее количества сплава, который может произвести завод за день при таких условиях.

Ответ

5190

Решение № 35802:

Пусть \(x\) и \(y\) — количество часов, которое затрачивают на первой и второй шахтах на добычу алюминия, соответственно. Тогда \(1458-x\) и \(900-y\) — количество часов, которое затрачивают на первой и второй шахтах на добычу никеля, соответственно. Тогда первая шахта добывает \(4x\) кг алюминия и \((1458-x)\cdot 3\) кг никеля. Вторая шахта в день добывает \(\sqrt{y}\) кг алюминия и \(\sqrt{900-y}\) кг никеля. А обе шахты добывают в день \(4x+\sqrt{y}\) кг алюминия и \((1458-x)\cdot 3+\sqrt{900-y}\) кг никеля. 2. По условию задачи для производства сплава масса алюминия должна относиться к массе никеля, как 3 к 2. Поэтому \(2(4x+\sqrt{y})=3((1458-x)\cdot 3+\sqrt{900-y})\), \(8x+2\sqrt{y}=13122-9x+3\sqrt{900-y}\), \(x=\frac{13122-2\sqrt{y}+3\sqrt{900-y}}{17}\) 3. Выразим через у массу алюминия, поступившего на завод: \(4x+\sqrt{y}=\frac{52488-8\sqrt{y}+12\sqrt{900-y}+17\sqrt{y}}{17}=\frac{52488+9\sqrt{y}+12\sqrt{900-y}}{17}=f(y)\). Найдём наибольшее значение \(f(y)\) с помощью производной. \(f'(y)=\frac{\frac{9}{2\sqrt{y}}-\frac{12}{\sqrt{900-y}}}{17\) \(f'(y)=0\), если \(\frac{3}{\sqrt{y}}=\frac{4}{\sqrt{900-y}}\), \(y=324\). \(f'(y)>0\) при \(y<324\) и \(f'(y)<0\) при \(y>324\), поэтому \(f(324)\) — наибольшее значение функции. \(f(324)=\frac{52488+162+288}{17}=3114\). Масса сплава равна \(\frac{5}{3}f(324)=5190) кг. Ответ: 5190 кг