№13618

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Число 36 представить в виде произведения двух сомножителей так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей

Ответ

6*6

Решение № 13616:

Для решения задачи Число 36 представить в виде произведения двух сомножителей так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей, необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Обозначим сомножители как \( a \) и \( b \), такие что \( a \cdot b = 36 \). </li> <li> Необходимо минимизировать сумму их квадратов \( a^2 + b^2 \). </li> <li> Используем тот факт, что для минимизации суммы квадратов сомножители должны быть как можно ближе друг к другу. Это следует из неравенства Коши-Шварца: </li> \[ (a^2 + b^2) \geq 2ab \] <li> Подставим \( ab = 36 \) в неравенство: \[ (a^2 + b^2) \geq 2 \cdot 36 = 72 \] </li> <li> Равенство достигается, когда \( a = b \). Следовательно, \( a \) и \( b \) должны быть равны. </li> <li> Решим уравнение \( a \cdot a = 36 \): \[ a^2 = 36 \implies a = \sqrt{36} = 6 \] </li> <li> Таким образом, \( b = 6 \). </li> <li> Проверим, что сумма квадратов минимальна: \[ a^2 + b^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72 \] </li> </ol> Ответ: <br> Сомножители: \( a = 6 \) и \( b = 6 \) <br> Минимальная сумма их квадратов: \( 72 \)