№35813

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Лысенко, ЕГЭ , 17 задача

Условие

В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день и добывать либо только алюминий, либо только никель. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте имеется 192 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день и добывать либо только алюминий, либо только никель. При этом один рабочий за час добывает 1,5 кг алюминия или 0,5 кг никеля. Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Ответ

2745

Решение № 35800:

Пусть \(a\) и \(b\) соответственно — число рабочих первой и второй шахт, которые добывают алюминий. Тогда первая шахта добывает в день \(a\cdot 5\cdot 2\) кг алюминия и \((100-a)\cdot 5\cdot 3\) кг никеля. Вторая шахта в день добывает \(6\cdot 5\cdot 1,5\) кг алюминия и \((192-b)\cdot 5\cdot 0,5\) кг никеля. Обе шахты добывают в день \(a\cdot 5\cdot 2+b\cdot 5\cdot 1,5=10a+7,5b\) кг алюминия и \((100-a)\cdot 5\cdot 3+(192-b)\cdot 5\cdot 0,5=1980-15a-2,5b\) кг никеля. 2. По условию задачи для производства сплава масса алюминия должна относиться к массе никеля, как 2 к 1. Поэтому \(10a+7,5b=2\cdot (1980-15a-2,5b)\), \(10a+7,5b=3960-30a-5b\), \(40a=3960-12,5b\), \(a=99-\frac{5}{16}b\). 3. Выразим через \(b\) массу алюминия, поступившего на завод: \(10a+7,5b=990-3,125b+7,5b=990+4,375b=f(b)\. \(f(b)\) — линейная возрастающая функция, её наибольшее значение получается при наибольшем значении \(b\), равном 192. \(f(192)=990+4,375\cdot 192=990+840=1830\) кг. По условию масса никеля в два раза меньше и составляет 915 кг. Значит, масса сплава равна \(1830+915=2745\) кг. Ответ: 2745 кг.