№13632

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

На координатной плоскости заданы точки \(M(3;0)\) и \(N(5;2)\). При каких значениях \(a\) точка \(M\) среди всех точек отрезка \([M,N]\) является ближайшей к графику функции \(y=ax^{2}\)?

Ответ

(-\infty ;0]\cup \left [ \frac{1}{4};+\infty \right )

Решение № 13630:

Для решения задачи о нахождении значений \(a\), при которых точка \(M(3;0)\) является ближайшей к графику функции \(y = ax^2\) среди всех точек отрезка \([M, N]\), где \(N(5;2)\), необходимо выполнить следующие шаги: 1. **Параметризация отрезка \(MN\)**: Отрезок \(MN\) можно параметризовать как: \[ x = 3 + 2t, \quad y = 2t \quad \text{где} \quad t \in [0, 1] \] 2. **Функция расстояния**: Расстояние от точки \((x, y)\) до графика функции \(y = ax^2\) определяется как: \[ d = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - ax_0^2)^2} \] где \(x_0\) — это абсцисса точки на графике \(y = ax^2\). 3. **Подставляем параметризацию**: Подставим \(x = 3 + 2t\) и \(y = 2t\) в функцию расстояния: \[ d = \sqrt{(3 + 2t - x_0)^2 + (2t - ax_0^2)^2} \] 4. **Упрощение расстояния**: Для упрощения, найдем минимум функции \(D(t) = d^2\): \[ D(t) = (3 + 2t - x_0)^2 + (2t - ax_0^2)^2 \] 5. **Производная функции \(D(t)\)**: Найдем производную \(D(t)\) по \(t\): \[ D'(t) = 2(3 + 2t - x_0)(2) + 2(2t - ax_0^2)(2) \] \[ D'(t) = 4(3 + 2t - x_0) + 4(2t - ax_0^2) \] 6. **Уравнение \(D'(t) = 0\)**: Решим уравнение \(D'(t) = 0\): \[ 4(3 + 2t - x_0) + 4(2t - ax_0^2) = 0 \] \[ 4(3 + 2t - x_0 + 2t - ax_0^2) = 0 \] \[ 3 + 4t - x_0 + 2t - ax_0^2 = 0 \] \[ 3 + 6t - x_0 - ax_0^2 = 0 \] 7. **Решение относительно \(t\)**: \[ 6t = x_0 + ax_0^2 - 3 \] \[ t = \frac{x_0 + ax_0^2 - 3}{6} \] 8. **Проверка границ**: Проверим, чтобы \(t\) попадало в интервал \([0, 1]\): \[ 0 \leq \frac{x_0 + ax_0^2 - 3}{6} \leq 1 \] 9. **Условия для \(a\)**: Для \(t = 0\): \[ x_0 + ax_0^2 - 3 = 0 \] \[ ax_0^2 + x_0 - 3 = 0 \] Для \(t = 1\): \[ x_0 + ax_0^2 - 3 = 6 \] \[ ax_0^2 + x_0 - 9 = 0 \] 10. **Решение квадратных уравнений**: \[ ax_0^2 + x_0 - 3 = 0 \] \[ ax_0^2 + x_0 - 9 = 0 \] 11. **Определение \(a\)**: Решим эти уравнения для \(x_0\) и найдем \(a\). 12. **Проверка условий**: Проверим, чтобы точка \(M(3;0)\) была ближайшей к графику \(y = ax^2\). Ответ: <br> Значение \(a\), при котором точка \(M(3;0)\) является ближайшей к графику функции \(y = ax^2\) среди всех точек отрезка \([M, N]\), можно найти, решив уравнения и проверив условия.