№35809

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Лысенко, ЕГЭ , 17 задача

Условие

Зависимость объёма спроса \(q\) (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены \(p\) (тыс. руб.) задаётся формулой \(q=450-3p\). Выручка предприятия за месяц \(r\) (в тыс. руб.) вычисляется по формуле \(r(p)=q\cdot p\). Определите наименьшую цену, при которой месячная выручка \(r(p)\) составит не менее 10800 тыс. руб. Ответ приведите в тысячах рублей.

Ответ

30

Решение № 35796:

Согласно условию должно выполняться неравенство \(pq\geq 10800\), то есть \((450-3p)p\geq 10800\). Сократив обе части неравенства на 3 и раскрыв скобки, получим: \(150p-p^{2}\geq 3600\); \(p^{2}-150p+3600\leq 0\). Найдём корни уравнения \(p^{2}-150p+3600=0\): \(p_{1, 2}=\frac{150\pm \sqrt{22500-14400}}{2}=\frac{150\pm \sqrt{8100}}{2}=\frac{150\pm 90}{2}\). Неравенство примет вид \(p_{1}=30\), \(p_{2}=120\). Решением рассматриваемого неравенства (см. рис. ниже) будет отрезок \([30; 120]\), и потому наименьшее подходящее значение \(p\) равно 30. Ответ: 30.